Matematyka.pl

Zrozumiałem dzisiaj, że można (może nie używając wyłącznie tylko cyrkla i linijki), ale jeśli tylko użyjemy jeszcze linijki do zaznaczenia na niej dwóch punktów, i do ich odmierzenia, to można dany kąt o mierze pomiędzy \(\displaystyle{ 0^{\circ}}\) a \(\displaystyle{ 180^{\circ}}\) podzielić na trzy równe części. Chciałbym się podzielić z Wami tą ciekawą konstrukcją.
Niech \(\displaystyle{ x}\) będzie kątem o mierze (w stopniach) \(\displaystyle{ x \in \left( 0; 180\right)}\), o środku w punkcie \(\displaystyle{ O}\). Podzielimy go na trzy kąty tej samej miary.
W tym celu przedłużamy poziome ramię kata w lewo, i rysujemy półkole o środku w punkcie \(\displaystyle{ O}\) i o promieniu \(\displaystyle{ r \in \RR_+}\). Oznaczmy przez \(\displaystyle{ C}\) punkt przecięcia drugiego (ukośnego) ramienia kąta \(\displaystyle{ x}\) z półkolem. Prowadzimy teraz półprostą o początku w punkcie \(\displaystyle{ C}\) i przecinającą (z lewej strony) półkole w punkcie \(\displaystyle{ B}\), tak, że dalszy punkt przecięcia \(\displaystyle{ A}\) takiej półprostej z naszą półprostą poziomą, jest taki, że odcinek \(\displaystyle{ AB }\) ma długość równą promieniowi \(\displaystyle{ r}\). To, że da się tak zrobić pokazuje poniższa animacja(bo ja też nie mogłem tego zrozumieć ): Wtedy oznaczając przez \(\displaystyle{ y}\) kat w wierzchołku \(\displaystyle{ A:}\)( patrz poniższą ilustrację):\(\displaystyle{ \\}\) \(\displaystyle{ \\}\) Dla trójkąta równoramiennego \(\displaystyle{ AOB}\) kąt w wierzchołku \(\displaystyle{ B}\) wynosi \(\displaystyle{ 180^{\circ} -2y}\), i dalej otrzymamy, że w wierzchołku \(\displaystyle{ O}\) schodzą się trzy kąty o miarach: \(\displaystyle{ x}\), \(\displaystyle{ y}\) i \(\displaystyle{ 180^{\circ} -4y}\); skąd:
\(\displaystyle{ y+\left( 180 ^{\circ} -4y\right) +x= 180^{\circ},}\) skąd:
\(\displaystyle{ 180^{\circ}-3y+x=180^{\circ}}\), skąd:
\(\displaystyle{ x=3y}\), i \(\displaystyle{ y= \frac{x}{3}}\).
Odmierzając zatem od kąta \(\displaystyle{ x}\) dwa razy kąt \(\displaystyle{ y}\) otrzymamy podział kąta \(\displaystyle{ x}\) na trzy kąty równej miary.\(\displaystyle{ \square}\)
Dodam tutaj jeszcze, że przy pomocy prostokątnego krzyża można skonstruować sześcian o objętości dwukrotnie większej niż objętość danego sześcianu, pisałem o tym: konstrukcje-inzynierskie-f201/podwojeni ... 56104.html