XI Czesko-Polsko-Słowackie Zawody Matematyczne
- Damianito
- Użytkownik
- Posty: 68
- Rejestracja: 25 kwie 2007, o 13:44
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Zabrze
- Pomógł: 7 razy
XI Czesko-Polsko-Słowackie Zawody Matematyczne
Dzień pierwszy zawodów:
1) Niech \(\displaystyle{ a,b,c}\) będą dodatnimi liczbami rzeczywistymi spełniającymi warunek \(\displaystyle{ a^2 < bc}\)
Udowodnić, że spełniona jest nierówność \(\displaystyle{ b^3 + ac^2 > ab(a+c)}\)
2) Na tablicy napisano \(\displaystyle{ n}\) nieujemnych liczb całkowitych, których największy wspólny dzielnik wynosi 1. W jednym kroku można zmazać dwie liczby \(\displaystyle{ x,y}\) takie, że \(\displaystyle{ x\geq y}\), oraz zastąpić je liczbami \(\displaystyle{ x-y,2y}\). Rozstrzygnąć, dla jakich początkowych ciągów liczb całkowitych można doprowadzić do sytuacji, w której \(\displaystyle{ n-1}\) liczb na tablicy jest zerami.
3) Punkty A,B,C,D leżą w tej kolejności na okręgu, przy czym proste AB i CD nie są równoległe oraz długość łuku AB zawierającego punkty C,D jest dwa razy większa niż długość łuku CD nie zawierającego punktów A,B. Punkt E leży po tej samej stronie prostej AB co C oraz D, przy czym \(\displaystyle{ AC = AE}\) oraz \(\displaystyle{ BD = BE}\). Wykazać, że jeśli prosta prostopadła do prostej AB przechodząca przez E połowi łuk CD nie zawierający punktów A,B, to kąt ACB ma miarę 108 stopni.
1) Niech \(\displaystyle{ a,b,c}\) będą dodatnimi liczbami rzeczywistymi spełniającymi warunek \(\displaystyle{ a^2 < bc}\)
Udowodnić, że spełniona jest nierówność \(\displaystyle{ b^3 + ac^2 > ab(a+c)}\)
2) Na tablicy napisano \(\displaystyle{ n}\) nieujemnych liczb całkowitych, których największy wspólny dzielnik wynosi 1. W jednym kroku można zmazać dwie liczby \(\displaystyle{ x,y}\) takie, że \(\displaystyle{ x\geq y}\), oraz zastąpić je liczbami \(\displaystyle{ x-y,2y}\). Rozstrzygnąć, dla jakich początkowych ciągów liczb całkowitych można doprowadzić do sytuacji, w której \(\displaystyle{ n-1}\) liczb na tablicy jest zerami.
3) Punkty A,B,C,D leżą w tej kolejności na okręgu, przy czym proste AB i CD nie są równoległe oraz długość łuku AB zawierającego punkty C,D jest dwa razy większa niż długość łuku CD nie zawierającego punktów A,B. Punkt E leży po tej samej stronie prostej AB co C oraz D, przy czym \(\displaystyle{ AC = AE}\) oraz \(\displaystyle{ BD = BE}\). Wykazać, że jeśli prosta prostopadła do prostej AB przechodząca przez E połowi łuk CD nie zawierający punktów A,B, to kąt ACB ma miarę 108 stopni.
Ostatnio zmieniony 21 cze 2011, o 18:30 przez Damianito, łącznie zmieniany 1 raz.
- Damianito
- Użytkownik
- Posty: 68
- Rejestracja: 25 kwie 2007, o 13:44
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Zabrze
- Pomógł: 7 razy
XI Czesko-Polsko-Słowackie Zawody Matematyczne
Zawodów dzień drugi:
4) Wielomian \(\displaystyle{ P(x)}\) o współczynnikach całkowitych ma następującą własność: dla dowolnych wielomianów \(\displaystyle{ F(x)}\), \(\displaystyle{ G(x)}\), \(\displaystyle{ Q(x)}\) o współczynnikach całkowitych, jeśli
\(\displaystyle{ P(Q(x))=F(x)G(x)}\),
to \(\displaystyle{ F(x)}\) lub \(\displaystyle{ G(x)}\) jest wielomianem stałym.
Wykazać, że \(\displaystyle{ P(x)}\) jest wielomianem stałym.
5) W czworokącie wypukłym \(\displaystyle{ ABCD}\) punkty \(\displaystyle{ M}\), \(\displaystyle{ N}\) są odpowiednio środkami boków \(\displaystyle{ AD}\) oraz \(\displaystyle{ BC}\). Punkty \(\displaystyle{ K}\) oraz \(\displaystyle{ L}\) leżą odpowiednio na bokach \(\displaystyle{ AB}\) i \(\displaystyle{ CD}\), przy czym \(\displaystyle{ \sphericalangle MKA = \sphericalangle NLC}\). Wykazać, że jeśli proste \(\displaystyle{ BD}\), \(\displaystyle{ KM}\) oraz \(\displaystyle{ LN}\) przecinają się w jednym punkcie, to spełnione są równości \(\displaystyle{ \sphericalangle KMN = \sphericalangle BDC}\) oraz \(\displaystyle{ \sphericalangle LNM = \sphericalangle ABD}\)
6) Niech \(\displaystyle{ a}\) będzie liczbą całkowitą. Wykazać, że istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych \(\displaystyle{ p}\), dla których \(\displaystyle{ p|n^2+3}\) oraz \(\displaystyle{ p|m^3-a}\) dla pewnych liczb całkowitych \(\displaystyle{ n,m}\).
4) Wielomian \(\displaystyle{ P(x)}\) o współczynnikach całkowitych ma następującą własność: dla dowolnych wielomianów \(\displaystyle{ F(x)}\), \(\displaystyle{ G(x)}\), \(\displaystyle{ Q(x)}\) o współczynnikach całkowitych, jeśli
\(\displaystyle{ P(Q(x))=F(x)G(x)}\),
to \(\displaystyle{ F(x)}\) lub \(\displaystyle{ G(x)}\) jest wielomianem stałym.
Wykazać, że \(\displaystyle{ P(x)}\) jest wielomianem stałym.
5) W czworokącie wypukłym \(\displaystyle{ ABCD}\) punkty \(\displaystyle{ M}\), \(\displaystyle{ N}\) są odpowiednio środkami boków \(\displaystyle{ AD}\) oraz \(\displaystyle{ BC}\). Punkty \(\displaystyle{ K}\) oraz \(\displaystyle{ L}\) leżą odpowiednio na bokach \(\displaystyle{ AB}\) i \(\displaystyle{ CD}\), przy czym \(\displaystyle{ \sphericalangle MKA = \sphericalangle NLC}\). Wykazać, że jeśli proste \(\displaystyle{ BD}\), \(\displaystyle{ KM}\) oraz \(\displaystyle{ LN}\) przecinają się w jednym punkcie, to spełnione są równości \(\displaystyle{ \sphericalangle KMN = \sphericalangle BDC}\) oraz \(\displaystyle{ \sphericalangle LNM = \sphericalangle ABD}\)
6) Niech \(\displaystyle{ a}\) będzie liczbą całkowitą. Wykazać, że istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych \(\displaystyle{ p}\), dla których \(\displaystyle{ p|n^2+3}\) oraz \(\displaystyle{ p|m^3-a}\) dla pewnych liczb całkowitych \(\displaystyle{ n,m}\).
- XMaS11
- Użytkownik
- Posty: 382
- Rejestracja: 6 mar 2008, o 21:40
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Suchedniów/Kielce
- Podziękował: 5 razy
- Pomógł: 47 razy
XI Czesko-Polsko-Słowackie Zawody Matematyczne
Brawo Wojtek, w nagrode przeslemy CI pocztowke z Amsterdamu... a nie przeciez sam sobie kupisz.. a nie, przeciez nie jedziesz.
XI Czesko-Polsko-Słowackie Zawody Matematyczne
Racja:D:D:DXMaS11 pisze:Brawo Wojtek, w nagrode przeslemy CI pocztowke z Amsterdamu... a nie przeciez sam sobie kupisz.. a nie, przeciez nie jedziesz.
- Damianito
- Użytkownik
- Posty: 68
- Rejestracja: 25 kwie 2007, o 13:44
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Zabrze
- Pomógł: 7 razy
XI Czesko-Polsko-Słowackie Zawody Matematyczne
Ranking po zawodach dostępny tutaj: . "Tysiąc" to ranking, w którym za każde zadanie jest łącznie 1000 punktów do zdobycia i uczestnikom przyznaje się punkty z tej puli proporcjonalnie do punktów zdobytych za dane zadanie (ranking nieoficjalny, na prośbę pana Teodora Jerzaka).
- Swistak
- Użytkownik
- Posty: 1874
- Rejestracja: 30 wrz 2007, o 22:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 99 razy
- Pomógł: 87 razy
XI Czesko-Polsko-Słowackie Zawody Matematyczne
Największe gratulacje dla Tomka no i dla reszty Polaków oczywiście też (no może poza Wojtkiem P).
Dość dziwne, że zad. 2 wypadło na takie łatwe, zajęło mi porównywalnie wiele czasu, co zad. 3, a chyba jednak z kombi jestem lepszy . Widzę, że Polska ładnie zdominowała wyniki za zad. 4 . Polaków 5 zrobiło, a zr eszty nikt .
Dość dziwne, że zad. 2 wypadło na takie łatwe, zajęło mi porównywalnie wiele czasu, co zad. 3, a chyba jednak z kombi jestem lepszy . Widzę, że Polska ładnie zdominowała wyniki za zad. 4 . Polaków 5 zrobiło, a zr eszty nikt .
- Swistak
- Użytkownik
- Posty: 1874
- Rejestracja: 30 wrz 2007, o 22:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 99 razy
- Pomógł: 87 razy
XI Czesko-Polsko-Słowackie Zawody Matematyczne
Zna ktoś ładne rozwiązanie zad. 5?
Ja robiąc to zadanie najpierw dorysowałem jakiś jeden cwany punkt, co w szybki sposób sprowadziło mi tezę do wykazania jakiegośtam stosunku (robiłem na odwrót, w sensie założyłem teze i dowodziłem założenia), ale potem wyliczałem jakieśtam stosunki z jakichś mas i pykło, ale to już nie było zbyt ładne, a chciałbym poznać jakieś mniej rachunkowe rozwiązanie.
Ja robiąc to zadanie najpierw dorysowałem jakiś jeden cwany punkt, co w szybki sposób sprowadziło mi tezę do wykazania jakiegośtam stosunku (robiłem na odwrót, w sensie założyłem teze i dowodziłem założenia), ale potem wyliczałem jakieśtam stosunki z jakichś mas i pykło, ale to już nie było zbyt ładne, a chciałbym poznać jakieś mniej rachunkowe rozwiązanie.