XXV Konkurs Matematyczny im. prof. J. Marszała(e. powiatowy)
- jerzozwierz
- Użytkownik
- Posty: 526
- Rejestracja: 22 lut 2009, o 10:13
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Rzeszów
- Podziękował: 8 razy
- Pomógł: 42 razy
XXV Konkurs Matematyczny im. prof. J. Marszała(e. powiatowy)
No to dzisiaj odbył się finał! (Mogę się pochwalić, że zrobiłem wszyściutkie )
Wrzucam zadania dla klas 1.
1. Wyznacz wszystkie trójki (x,y,z) liczb naturalnych spełniających układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x^{2}+y-z=100 \\ y^{2}+x-z=124 \end{cases}}\)
2. Dana jest liczba sześciocyfrowa podzielna przez 7. Udowodnij, że po przeniesieniu pierwszej cyfry na koniec liczby, powstała liczba sześciocyfrowa będzie również podzielna przez 7.
3. Dany jest trójkąt prostokątny ABC. Z wierzchołka C kąta prostego poprowadzono wysokość h, która dzieli go na dwa mniejsze trójkąty prostokątne. W każdy z trzech otrzymanych trójkątów wpisano okrąg. Udowodnij, że długości promieni tych okręgów sumują się do h.
Chyba jeszcze pamiętam zadania dla klasy 2:
1. Wiedząc, że \(\displaystyle{ x+ \frac{1}{x} = a}\), wyznacz wartość wyrażenia \(\displaystyle{ x^{7}+ \frac{1}{x^{7}}}\)
2. Funkcja f\(\displaystyle{ (x)=ax^{2}+bx+c}\) dla wszystkich argumentów całkowitych przyjmuje wartości całkowite. Udowodnij, że liczby \(\displaystyle{ 2a, a+b, c}\) są całkowite i na odwrót.
3. \(\displaystyle{ xyz=1 \Rightarrow x+y+z \ge 3}\)
Trzecich klas niestety nie pamiętam. Moim skromnym zdaniem klasa II miała prostsze zadania, przynajmniej dla mnie
Wrzucam zadania dla klas 1.
1. Wyznacz wszystkie trójki (x,y,z) liczb naturalnych spełniających układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x^{2}+y-z=100 \\ y^{2}+x-z=124 \end{cases}}\)
2. Dana jest liczba sześciocyfrowa podzielna przez 7. Udowodnij, że po przeniesieniu pierwszej cyfry na koniec liczby, powstała liczba sześciocyfrowa będzie również podzielna przez 7.
3. Dany jest trójkąt prostokątny ABC. Z wierzchołka C kąta prostego poprowadzono wysokość h, która dzieli go na dwa mniejsze trójkąty prostokątne. W każdy z trzech otrzymanych trójkątów wpisano okrąg. Udowodnij, że długości promieni tych okręgów sumują się do h.
Chyba jeszcze pamiętam zadania dla klasy 2:
1. Wiedząc, że \(\displaystyle{ x+ \frac{1}{x} = a}\), wyznacz wartość wyrażenia \(\displaystyle{ x^{7}+ \frac{1}{x^{7}}}\)
2. Funkcja f\(\displaystyle{ (x)=ax^{2}+bx+c}\) dla wszystkich argumentów całkowitych przyjmuje wartości całkowite. Udowodnij, że liczby \(\displaystyle{ 2a, a+b, c}\) są całkowite i na odwrót.
3. \(\displaystyle{ xyz=1 \Rightarrow x+y+z \ge 3}\)
Trzecich klas niestety nie pamiętam. Moim skromnym zdaniem klasa II miała prostsze zadania, przynajmniej dla mnie
-
- Użytkownik
- Posty: 129
- Rejestracja: 15 lis 2009, o 21:40
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 5 razy
XXV Konkurs Matematyczny im. prof. J. Marszała(e. powiatowy)
w zadaniu 3 dla klas drugich na pewno treśc dobra?
bo z poprzedniego etapu były cięższe nierównośći.
bo z poprzedniego etapu były cięższe nierównośći.
- jerzozwierz
- Użytkownik
- Posty: 526
- Rejestracja: 22 lut 2009, o 10:13
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Rzeszów
- Podziękował: 8 razy
- Pomógł: 42 razy
XXV Konkurs Matematyczny im. prof. J. Marszała(e. powiatowy)
Na pewno dobra. Też mnie zdziwiło takie zadanie na finale.
-
- Użytkownik
- Posty: 36
- Rejestracja: 12 mar 2009, o 13:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 5 razy
- Pomógł: 7 razy
XXV Konkurs Matematyczny im. prof. J. Marszała(e. powiatowy)
Zadania dla klas trzecich.
1. Znaleźć w liczbach rzeczywistych wszystkie rozwiązania układu równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x^{5} - y^{5} = 992 \\ x - y =2 \end{cases}}\)
2. Znaleźć liczbę czterocyfrową, której dwie pierwsze cyfry są jednakowe, dwie ostatnie cyfry są również jednakowe i jest ona kwadratem liczby całkowitej.
3. Wielomian W(x) przyjmuje dla x=26 wartość 8, a dla x=29 wartość 15. Dowieść, że co najmniej jeden z jego współczynników nie jest liczbą całkowitą.
ad1.
ad.2
ad.3
1. Znaleźć w liczbach rzeczywistych wszystkie rozwiązania układu równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x^{5} - y^{5} = 992 \\ x - y =2 \end{cases}}\)
2. Znaleźć liczbę czterocyfrową, której dwie pierwsze cyfry są jednakowe, dwie ostatnie cyfry są również jednakowe i jest ona kwadratem liczby całkowitej.
3. Wielomian W(x) przyjmuje dla x=26 wartość 8, a dla x=29 wartość 15. Dowieść, że co najmniej jeden z jego współczynników nie jest liczbą całkowitą.
ad1.
Ukryta treść:
Ukryta treść:
Ukryta treść:
Ostatnio zmieniony 27 lis 2009, o 17:00 przez knrdk, łącznie zmieniany 3 razy.
-
- Użytkownik
- Posty: 1
- Rejestracja: 27 lis 2009, o 16:36
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: podkarpackie
XXV Konkurs Matematyczny im. prof. J. Marszała(e. powiatowy)
może ktoś wrzucić odpowiedzi do klasy 2???
głównie chodzi mi o zadanie 2, no i 1
głównie chodzi mi o zadanie 2, no i 1
-
- Użytkownik
- Posty: 129
- Rejestracja: 15 lis 2009, o 21:40
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 5 razy
XXV Konkurs Matematyczny im. prof. J. Marszała(e. powiatowy)
czyli jak?jerzozwierz pisze: i na odwrót
Bo ta pierwsza część zadania dla mnie stosunkowo prosta, ale nie wiem o co chodzi z tym "na odwrót"
-
- Użytkownik
- Posty: 282
- Rejestracja: 2 paź 2009, o 20:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Dachnów
- Podziękował: 27 razy
- Pomógł: 13 razy
XXV Konkurs Matematyczny im. prof. J. Marszała(e. powiatowy)
jerzozwierz, mógłbyś napisac rozwiazanie zadania 2. i 3. z klas pierwszych?
- jerzozwierz
- Użytkownik
- Posty: 526
- Rejestracja: 22 lut 2009, o 10:13
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Rzeszów
- Podziękował: 8 razy
- Pomógł: 42 razy
XXV Konkurs Matematyczny im. prof. J. Marszała(e. powiatowy)
Drugie było raczej schematyczne, jak się kiedyś zrobiło podobne zadanie to nie było żadnego problemu.
Rozw:
Trzecie (raczej trudne)
Mój sposób:
Rozw:
Ukryta treść:
Mój sposób:
Ukryta treść:
-
- Użytkownik
- Posty: 129
- Rejestracja: 15 lis 2009, o 21:40
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 5 razy
XXV Konkurs Matematyczny im. prof. J. Marszała(e. powiatowy)
To moje rozwiązanie raczej prostsze, ale ten wzór mniej popularny, nie wpadłbym na to, żeby tego wzoru użyć, ale w szkole, mieliśmy jakieś takie wzorki na promienie etc.
mamy trzy trójkąty prostokątne:
a,x,h (a przeciwprostokątna) okrąg wpisany o promeiniu \(\displaystyle{ r_1}\)
b,y,h (b przeciwprostokątna) okrąg wpisany o promieniu \(\displaystyle{ r_2}\)
c,a,b (c przeciwprostokątna) okrąg wpisany o promieniu \(\displaystyle{ r_3}\)
x,y to długości boków na jakie h podzieliła c.
mamy:
\(\displaystyle{ r_1= \frac{x+h-a}{2}}\)
\(\displaystyle{ r_2= \frac{h+y-b}{2}}\)
\(\displaystyle{ r_3= \frac{a+b-c}{2}}\)
\(\displaystyle{ r_1+r_2+r_3=\frac{x+h-a}{2}+\frac{h+y-b}{2}+\frac{a+b-c}{2= \frac{x+h-a+h+y-b+a+b-x-y}{2}=2h/2=h}\)
mamy trzy trójkąty prostokątne:
a,x,h (a przeciwprostokątna) okrąg wpisany o promeiniu \(\displaystyle{ r_1}\)
b,y,h (b przeciwprostokątna) okrąg wpisany o promieniu \(\displaystyle{ r_2}\)
c,a,b (c przeciwprostokątna) okrąg wpisany o promieniu \(\displaystyle{ r_3}\)
x,y to długości boków na jakie h podzieliła c.
mamy:
\(\displaystyle{ r_1= \frac{x+h-a}{2}}\)
\(\displaystyle{ r_2= \frac{h+y-b}{2}}\)
\(\displaystyle{ r_3= \frac{a+b-c}{2}}\)
\(\displaystyle{ r_1+r_2+r_3=\frac{x+h-a}{2}+\frac{h+y-b}{2}+\frac{a+b-c}{2= \frac{x+h-a+h+y-b+a+b-x-y}{2}=2h/2=h}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 47
- Rejestracja: 29 lis 2009, o 20:35
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Dębica
- Pomógł: 6 razy
XXV Konkurs Matematyczny im. prof. J. Marszała(e. powiatowy)
Czy ktoś się orientuje o co chodzi z tym kolejnym, międzynarodowym etapem tego konkursu?
Witam wszystkich na forum btw
Witam wszystkich na forum btw
-
- Użytkownik
- Posty: 12
- Rejestracja: 30 lis 2009, o 15:57
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Rzeszów(Strzyżów)
XXV Konkurs Matematyczny im. prof. J. Marszała(e. powiatowy)
Mógłby ktoś podać rozwiązanie z zadania nr. 1 z II etapu dla klas pierwszych ? Albo chociaż jakiś "haczyk"
-
- Użytkownik
- Posty: 20
- Rejestracja: 2 kwie 2009, o 17:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Krosno / Jasło
XXV Konkurs Matematyczny im. prof. J. Marszała(e. powiatowy)
Za pomocą \(\displaystyle{ x+ \frac{1}{x} =a}\) wyliczamy wartości \(\displaystyle{ x^4+ \frac{1}{x^4}}\) i \(\displaystyle{ x^3+ \frac{1}{x^3}}\)
\(\displaystyle{ x+ \frac{1}{x} =a \Leftrightarrow x^2+ \frac{1}{x^2} =a^2-2 \Leftrightarrow x^4+ \frac{1}{x^4} =(a^2-2)^2-2=a^4-4a^2+2}\)
\(\displaystyle{ x+ \frac{1}{x} =a \Leftrightarrow (x+ \frac{1}{x})^3 =a^3 \Leftrightarrow x^3+ \frac{1}{x^3} +3(x+ \frac{1}{x} )=a^3 \Leftrightarrow x^3+ \frac{1}{x^3}=a^3-3(x+ \frac{1}{x} ) \Leftrightarrow x^3+ \frac{1}{x^3}=a^3-3a}\)
Teraz wystarczy użyć tego co otrzymaliśmy wcześniej i elegancko wychodzi co ma wyjść :
\(\displaystyle{ [x^4+ \frac{1}{x^4}][x^3+ \frac{1}{x^3}]=[a^4-4a^2+2][a^3-3a] \Leftrightarrow x^7+ \frac{1}{x^7}+[x+ \frac{1}{x}] = a^7-7a^5+14a^3-6a \Leftrightarrow x^7+ \frac{1}{x^7}+[a] = a^7-7a^5+14a^3-6a \Leftrightarrow x^7= \frac{1}{x^7} = a^7-7a^5+14a^3-7a}\)
Mam nadzieje że nie ma błędów
Pozdrawiam
//pełno głupich błędów ale mam nadzieje że już wszystko ok ;]
\(\displaystyle{ x+ \frac{1}{x} =a \Leftrightarrow x^2+ \frac{1}{x^2} =a^2-2 \Leftrightarrow x^4+ \frac{1}{x^4} =(a^2-2)^2-2=a^4-4a^2+2}\)
\(\displaystyle{ x+ \frac{1}{x} =a \Leftrightarrow (x+ \frac{1}{x})^3 =a^3 \Leftrightarrow x^3+ \frac{1}{x^3} +3(x+ \frac{1}{x} )=a^3 \Leftrightarrow x^3+ \frac{1}{x^3}=a^3-3(x+ \frac{1}{x} ) \Leftrightarrow x^3+ \frac{1}{x^3}=a^3-3a}\)
Teraz wystarczy użyć tego co otrzymaliśmy wcześniej i elegancko wychodzi co ma wyjść :
\(\displaystyle{ [x^4+ \frac{1}{x^4}][x^3+ \frac{1}{x^3}]=[a^4-4a^2+2][a^3-3a] \Leftrightarrow x^7+ \frac{1}{x^7}+[x+ \frac{1}{x}] = a^7-7a^5+14a^3-6a \Leftrightarrow x^7+ \frac{1}{x^7}+[a] = a^7-7a^5+14a^3-6a \Leftrightarrow x^7= \frac{1}{x^7} = a^7-7a^5+14a^3-7a}\)
Mam nadzieje że nie ma błędów
Pozdrawiam
//pełno głupich błędów ale mam nadzieje że już wszystko ok ;]
Ostatnio zmieniony 30 lis 2009, o 21:24 przez Zim, łącznie zmieniany 4 razy.
-
- Użytkownik
- Posty: 57
- Rejestracja: 14 gru 2008, o 00:22
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Rz
- Pomógł: 7 razy
XXV Konkurs Matematyczny im. prof. J. Marszała(e. powiatowy)
Złe ostanie przejście:, powinno być \(\displaystyle{ a^4-4a^2+2}\)\(\displaystyle{ x^4+ \frac{1}{x^4} =(a^2-2)^2-2=a^4-4a^2-2}\)