Matematyka.pl

Podaję zadania z II poziomu dla klas 2 liceum i 3 technikum:
1.Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych dodatnich a,b,c spełniających warunek a+b+c=1, prawdziwa jest nierówność \(\displaystyle{ \frac{1}{a}+ \frac{1}{b}+ \frac{1}{c} \ge 9}\)
2.W trójkącie równoramiennym ramię jest 2 razy dłuższe od podstawy. Suma długości promieni okręgów wpisanego i opisanego na tym trójkącie jest równa 11. Oblicz długość podstawy trójkąta.
3.Wiadomo, że trawa na całym polu rośnie jednakowo gęsto i szybko. 60 krów zjada trawę w ciągu 24 dni, 30 krów zjada trawę w ciągu 60 dni. Ile krów zje trawę w ciągu 100 dni?
4.Oblicz długości boków trapezu wpisanego w półokrąg o średnicy długości 50 wiedząc, że średnica ta jest dłuższą podstawą trapezu, zaś suma długości trzech pozostałych boków trapezu jest równa 74.
5.Supermarket sprzedając jabłka w cenie 3 zł za kilogram, dziennie sprzedawał 400kg. Zauważono, że przy obniżce ceny o każde 10gr sprzedaż rośnie o 100kg. Supermarket kupuje jabłka od sadownika po 1,20zł za kg, a inne koszty(magazynowanie, utrzymanie stoiska, itp.) przypadające na 1kg jabłek wynoszą 20gr. Przy jakiej cenie jabłek dzienna sprzedaż przyniesie największy zysk?

Zadania dość proste ale czy mógłby ktoś rozwiązać to z krowami bo nie jestem pewny wyniku?

Odnośnie zadań dla klas III gim., I ponadgim.

W 5. zrobiłem głupi błąd, bo liczyłem y=6-x i mi źle wyszło

A co do pozostałych:

4 najłatwiejsze, na ułamki zwykłe przeszedłem, wyżej już ktoś obliczył, więc nie będę się powtarzał. Z 3 i 1 kombinowałem na rysunkach i mi dobrze wyszło, ale to trzeba było obliczyć, a nie zgadywać, więc chyba mi nie uznają.

I wreszcie zadanie ze smokiem. Byłem przekonany, że wyjdzie 0 głów. Już obliczyłem, ale się pomyliłem w liczeniu. Na koniec po zmianie dałem odpowiedź, że rycerz nie może pokonać smoka, a w domu na spokojnie pomyślałem i wiem dlaczego.

Zadanie II

Smok ma 2000 głow.

rycerz tnie 33 głowy, smokowi odrasta 48 głów
-33+48=15

rycerz tnie 21 głów, nic nie odrasta
21

rycerz tnie 17 głów, odrasta 14
-17+14=-3

rycerz tnie 1 gowe, odrasta 349
-1+349=348

***

Można zauważyć, że wszystkie te liczby 15, 21, -3, 348 są podzielne przez trzy. Chcemy, aby powstała liczba będąca wielokrotnością liczby 21. Niestety co byśmy nie odcinali to i tak tych głów będzie x/3 reszta 2. Zatem nigdy nie wyjdzie liczba podzielna przez 21 i rycerz nie pokona smoka.

Niestety tego dowodu mi brakło.

***

Cóż tak sobie mi poszło, a we czwartek kangur.

60*24=1440- tyle było porcji trawy po 24 dniach
30*60=1800- po 60 dniach
1800-1440=360-tyle porcji urosło w 60-24=36 dni 360/36=10 tyle porcji rosło dziennie
1440-24*10=1200-porcje początkowe
1200+100*10=2200 porcje po 100 dniach
2200/100=22 krowy:)

za dużo trochę mi się wydaje Jak przypomnę sobie jak liczyłem to podam ale mój wynik to 10 krów

hm. interesujace to o tej podzielnosci w zadaniu ze smokiem. nawet tak samo myslalem z bilansem glow (np odrasta 48, tnie 33 czyli jest na + 15 glow). jakkolwiek... zobaczcie.:
tnie 17, odrasta 14. bilans: -3

2000 glow - 17 (zostawaimy na ostatnie ciecie, musi byc minimum tyle, albo 33, albo 1 , albo 21. wybralem tyle) = 1983 glow mozemy sciac

1983 / 3 (z bilansu) = 661 cięć.

2000 - 661* 17 (ucietych) + 661* 14 (odroslo) = 2000 - 11237 + 9254 = 17
mamy 17 glow, mozemy uciac akurat 17. smok bez glow, czyli mozna go pokonac, i to tylko jednym typem cięcia. jest gdzies moze blad?

edit: widze, autor poprzedniej wiadomosci o smoku nie uwzglednil tego, ze po scieciu do zera glowy nie odrastaja.

moglby ktos zrobic pierwsze? jesli nie mozna wrzucac obrazkow to najwyzej link do obrazka w paincie i opis w poscie.

Do thetyphoon

2) Smok ma 2000 głów. Rycerz może ściąć jednym cięciem 33 głowy lub 21 głów, lub 17 głów, lub 1 głowę. Smokowi odrastają wówczas odpowiednio 48, 0, 14 lub 349 głów. Smok zostanie zabity, gdy wszystkie głowy będą ścięte. Czy rycerz może zabić smoka? Odpowiedź uzasadnij(rycerz może ścinać głowy wielokrotnie).

W treści było napisane, że może ciąć głowy wielokrotnie. Jeśli zostanie 17 głów i utnie je za jednym zamachem, wtedy smokowi odrośnie 14 głów (tak wynika z treści). Musi wyjść 21, żeby można było go pokonać. Nie było nigdzie napisane, że jak mu zetnie do zera to nie odrosną.

***

Tak czy inaczej, okazało się, że 5. zadanie dobrze rozwiązałem, poza tym to z pierwiastkami. Jeśli chodzi o 3 pozostałe zadania to też dobrze rozwiązałem, tylko nie wiem czy mi uznają, bo nie obliczałem tylko kombinowałem.

Co do smoka to trochę poobliczałem i gdzy mi się powtórzyło, że mu 100 głów zostanie to dałem odpowiedź bez uzasadnienia "rycerz nie może zabić smoka" na wyjaśnienie brakło czasu do namysłu, a trochę czasu zmarnowałem, bo myślałem, że dobrze rozwiązałem, a popełniłem błąd w obliczeniach.

Jeśli chodzi o okrąg wpisany w trójkąt prostokątny, to pierwszy raz się z takim wzorem spotykam. Narysowałem trójkąt prostokątny, gdzie przyprostokątnemają długości 12cm i 5cm, następnie poprzez dwusieczne kątów wyznaczyłem środek okręgu. Narysowałem okrąg i odmierzyłem. Wyszło 2cm. Jednakże nie było podanych jednostek, więc wynik ostateczny dałem 4.

Z kolei jeśli chodzi o kąty gdzie IBHI-IAHI=ICAI to trochę na brudno popróbowałem i później narysowałem trójkąt, krótsza przyprostokątna 3cm, przeciwprostokątna 6cm. Po wyznaczeniu wysokości wyszło mi: IBHI=4,5cm IAHI=1,5cm IACI=3cm wszystko się zgadza, a kąty to już formalność (Z trójkątów 30st. 60st. 90st.).

Z innej beczki wiecie może kiedy będą wyniki i ile mniej więcej zadań zrobionych wystarczy do zakwalifikowania się dalej?

ja zrobiłem wszystkie 5 zadań z klas 1 LO, tyle że w 1 wyszedł mi układ 6 równań ale straszne mi liczby wyszły więc zacząłem kombinować, przyjąłem, że \(\displaystyle{ \alpha = 30^o \beta = 60^o}\) i to udowodniłem.. w 2 zadaniu rozpatrzyłem 2 przypadki:
1) po stracie wszystkich głów, gdy smok ginie(jak pisało w zadaniu) nie odrastają mu głowy i wtedy można go zabić
2) po stracie wszystkich głów odrastają mu głowy, wtedy nie można go zabić bo chcemy uzyskać 21 a możemy tylko 20 lub 23 ;P
zadanie3 było chyba najłatwiejsze jeśli znało się wzór \(\displaystyle{ r=\frac{a+b-c}{2}}\)
obliczamy c z Pitagorasa i jest.

zadanie 4 nie było najgorsze zamiana na ułamki zwykłe wystarczyła

w zadaniu 5 trzeba było zauważyć, że liczba y podniesiona do potęgi jest równa 1 gdy:
a) y = 1
b) y = -1 a potęga jest parzysta
c) y podniesione jest do potęgi 0

wyszły 3 rozwiązania które już wymieniliście

Dziś zanim konkurs się rozpoczął zauważyłem, że dużo osób ma kalkulatory. SZOK! Owszem na maturze można mieć kalkulator, ale prosty (+-*/ pierwiastek). Ktoś się zapytał czy można używać kalkulatora. Nauczyciele pilnujący porządku, powiedzieli, że nic nie jest napisane, że nie można. Najlepiej jak ktoś miał wielofunkcyjny (sam mam taki w domu). No cóż ja nie konkursy kalkulatorów nie noszę, ale czy u was można było korzystać z kalkulatora?

ja pisałem w tej sali co Ty ;p siedziałem w srodkowym rzędzie z taką dziewczyną przypominasz sobie ?
ja też miałem ale nie korzystałem bo nie było trzeba..

do rutra, jak zetnie te 17 głów na końcu to smok umiera, a następnie zmartwychwstaje z 14 nowymi głowami.

a taaakie rozumowanie... jak dla mnie byla malo dokladna tresc, tak sobie to zinterpretowalem. popatrzcie i powiedzcie co o tym sadzicie:
" Smok zostanie zabity, gdy wszystkie głowy będą ścięte". smokowi NAJPIERW ścinamy glowy, potem dopiero odrastaja. gdy zetniemy je do 0 [stopklatka - smok ma sciete glowy] smok umiera. a jak umarl to mu juz raczej nie rosna, chyba ze zadanie nie wyklucza zmartwychwstania ;p

jesli chodzi o ostatnie zadanie to TRZEBA bylo podawac 3 wyniki? ja rozpatrzylem tylko 2.

ps. nieoficjalnie mam 18pkt ;p

Mógłby ktoś zrobić to zadanie, albo przynajmniej podać sam wynik? Wyszlo mi 1,7zł ale nie jestem pewien

5.Supermarket sprzedając jabłka w cenie 3 zł za kilogram, dziennie sprzedawał 400kg. Zauważono, że przy obniżce ceny o każde 10gr sprzedaż rośnie o 100kg. Supermarket kupuje jabłka od sadownika po 1,20zł za kg, a inne koszty(magazynowanie, utrzymanie stoiska, itp.) przypadające na 1kg jabłek wynoszą 20gr. Przy jakiej cenie jabłek dzienna sprzedaż przyniesie największy zysk?

powinno tam być 2,40zł ponieważ
czysty zysk- 1,60zł (3zł-1,40zł opłat)
z każdym obniżeniem ceny o 0,10zł zwiększ się ilość sprzedanych jabłek o 100kg
1,60-0,10n ----------- 400 +100n
zarobek=(1,60-0,10n)(400+100n)
parabola z ramionami zwróconymi w dół o współrzędnych (n,zarobek)
liczymy n wierzchołka
n to ilość obniżek czyli mnożymy nasze n*0,10zł (n powinno wyjść 6)
czyli najlepiej jak obniżka będzie o 0,60 gr
3zł - 0,60gr=2,40zł

Głupi błąd rachunkowy w wymnażaniu nawiasów. Myślicie że dadzą jakieś punkty?