Małopolski konkurs matematyczny 2022
-
- Użytkownik
- Posty: 1
- Rejestracja: 8 paź 2023, o 08:22
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 15
Małopolski konkurs matematyczny 2022
Która liczba jest większa \(\displaystyle{ 16^{125}}\) czy \(\displaystyle{ 15^{128}}\) ?
Ostatnio zmieniony 8 paź 2023, o 09:56 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Brak LaTeXa - proszę zapoznać się z instrukcją: https://matematyka.pl/latex.htm.
Powód: Brak LaTeXa - proszę zapoznać się z instrukcją: https://matematyka.pl/latex.htm.
-
- Użytkownik
- Posty: 2284
- Rejestracja: 14 cze 2011, o 11:34
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Sosnowiec
- Podziękował: 88 razy
- Pomógł: 351 razy
Re: Małopolski konkurs matematyczny 2022
Na pewno zacząłbym od pierwiastka czwartego stopnia z obu liczb. Niestety nie widzę jak łatwo dalej pociągnąć rozwiązanie (nie licząc szacowania liczby \(\displaystyle{ \log_2{15}}\) przez ułamki z pomocą kalkulatora).
- Niepokonana
- Użytkownik
- Posty: 1548
- Rejestracja: 4 sie 2019, o 11:12
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 337 razy
- Pomógł: 20 razy
Re: Małopolski konkurs matematyczny 2022
Głupie pytanie, ale nie można by zdefiniować funkcji \(\displaystyle{ x^{x}}\) i \(\displaystyle{ x^{x+3}}\) zróżniczkować w liczbach dodatnich i zobaczyć jak one się zmieniają w okolicach tych liczb? Dałoby to coś?
-
- Użytkownik
- Posty: 2284
- Rejestracja: 14 cze 2011, o 11:34
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Sosnowiec
- Podziękował: 88 razy
- Pomógł: 351 razy
Re: Małopolski konkurs matematyczny 2022
Nie bardzo.
Rozważmy na przykład funkcję o wzorze
\(\displaystyle{ f(x)= (x-1)^{8x} - x^{8x-3}}\).
Interesuje nas pytanie: jaki znak ma liczba \(\displaystyle{ f(16)}\) ?
Niestety badanie pochodnej pozwala stwierdzić jedynie przedziały monotoniczności i ekstrema lokalne (powodzenia przy badaniu znaku pochodnej). Z drugiej strony nasz problem sprowadza się do szukania miejsc zerowych.
Rozważmy na przykład funkcję o wzorze
\(\displaystyle{ f(x)= (x-1)^{8x} - x^{8x-3}}\).
Interesuje nas pytanie: jaki znak ma liczba \(\displaystyle{ f(16)}\) ?
Niestety badanie pochodnej pozwala stwierdzić jedynie przedziały monotoniczności i ekstrema lokalne (powodzenia przy badaniu znaku pochodnej). Z drugiej strony nasz problem sprowadza się do szukania miejsc zerowych.
-
- Użytkownik
- Posty: 125
- Rejestracja: 3 cze 2012, o 00:37
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Lublin
- Podziękował: 16 razy
- Pomógł: 24 razy
Re: Małopolski konkurs matematyczny 2022
Sprowadziłem problem do porównania liczb \(\displaystyle{ 2^{65}}\) i \(\displaystyle{ 5^{28}}\).
Mamy do udowodnienia, która liczba jest większa \(\displaystyle{ 16^{125}}\) czy \(\displaystyle{ 15^{128}}\)
Podnosimy obie strony do potęgi \(\displaystyle{ \frac{1}{4}}\) otrzymując pytanie: \(\displaystyle{ 2^{125}}\) czy \(\displaystyle{ 15^{32}}\).
Weźmy inną liczbę: \(\displaystyle{ 2^{60} \cdot 5^{28}}\)
Porównajmy liczby: \(\displaystyle{ 2^{60} \cdot 5^{28}}\) i \(\displaystyle{ 15^{32}}\). Podnosimy obie strony do potęgi \(\displaystyle{ \frac{1}{4}}\) otrzymując pytanie: \(\displaystyle{ 2^{15}\cdot5^{7}}\) czy \(\displaystyle{ 15^{8}}\).
Dzielimy obie strony przez \(\displaystyle{ 5^7}\) otrzymując \(\displaystyle{ 2^{15}}\) czy \(\displaystyle{ 3^8\cdot5}\) co łatwo już policzyć nawet pisemnie:
\(\displaystyle{ 2^{15}=2^{10}\cdot2^5=1024\cdot32=32768; 3^8\cdot5=6561\cdot5=32805}\)
tak więc \(\displaystyle{ 2^{60} \cdot 5^{28} < 15^{32}}\)
Z drugiej strony wystarczy nam porównać liczby: \(\displaystyle{ 5^{125}}\) i \(\displaystyle{ 2^{60}\cdot5^{28}}\). Po podzieleniu obustronnie przez \(\displaystyle{ 2^{60}}\) otrzymujemy:
\(\displaystyle{ 2^{65}}\) i \(\displaystyle{ 5^{28}}\)
To już może na jakimś kalkulatorze by przeszło:
\(\displaystyle{ 2^{65} = 36893488147419103232}\)
\(\displaystyle{ 5^{28} = 37252902984619140625}\)
Może ktoś coś z tego zrobi. Ideą tego rozwiązania było by udowodnić \(\displaystyle{ 2^{125} < 2^{60} \cdot 5^{28} < 15^{32} \Rightarrow 2^{125} < 15^{32}}\).
Trzeba by było jakoś udowodnić, że \(\displaystyle{ 2^{65} < 5^{28}}\) nie wyliczając tych liczb.
Mamy do udowodnienia, która liczba jest większa \(\displaystyle{ 16^{125}}\) czy \(\displaystyle{ 15^{128}}\)
Podnosimy obie strony do potęgi \(\displaystyle{ \frac{1}{4}}\) otrzymując pytanie: \(\displaystyle{ 2^{125}}\) czy \(\displaystyle{ 15^{32}}\).
Weźmy inną liczbę: \(\displaystyle{ 2^{60} \cdot 5^{28}}\)
Porównajmy liczby: \(\displaystyle{ 2^{60} \cdot 5^{28}}\) i \(\displaystyle{ 15^{32}}\). Podnosimy obie strony do potęgi \(\displaystyle{ \frac{1}{4}}\) otrzymując pytanie: \(\displaystyle{ 2^{15}\cdot5^{7}}\) czy \(\displaystyle{ 15^{8}}\).
Dzielimy obie strony przez \(\displaystyle{ 5^7}\) otrzymując \(\displaystyle{ 2^{15}}\) czy \(\displaystyle{ 3^8\cdot5}\) co łatwo już policzyć nawet pisemnie:
\(\displaystyle{ 2^{15}=2^{10}\cdot2^5=1024\cdot32=32768; 3^8\cdot5=6561\cdot5=32805}\)
tak więc \(\displaystyle{ 2^{60} \cdot 5^{28} < 15^{32}}\)
Z drugiej strony wystarczy nam porównać liczby: \(\displaystyle{ 5^{125}}\) i \(\displaystyle{ 2^{60}\cdot5^{28}}\). Po podzieleniu obustronnie przez \(\displaystyle{ 2^{60}}\) otrzymujemy:
\(\displaystyle{ 2^{65}}\) i \(\displaystyle{ 5^{28}}\)
To już może na jakimś kalkulatorze by przeszło:
\(\displaystyle{ 2^{65} = 36893488147419103232}\)
\(\displaystyle{ 5^{28} = 37252902984619140625}\)
Może ktoś coś z tego zrobi. Ideą tego rozwiązania było by udowodnić \(\displaystyle{ 2^{125} < 2^{60} \cdot 5^{28} < 15^{32} \Rightarrow 2^{125} < 15^{32}}\).
Trzeba by było jakoś udowodnić, że \(\displaystyle{ 2^{65} < 5^{28}}\) nie wyliczając tych liczb.