Matematyka.pl

Wiem, że taki temat się prędzej czy później pojawi, a na pewno ktoś z forum pisał I etap

Podaję swoje odp, treści zadań nie będę pisał bo były trywialne:

Zamknięte: (nie pamiętam konkretnych odpowiedzi i kolejności zadań)

1. suma tych liczb daje resztę \(\displaystyle{ 1}\)
2. cena się nie zmieniła
3. jest to \(\displaystyle{ 8}\)-kąt
4. różnica największego i najmniejszego kąta wynosi w stopniach \(\displaystyle{ 90}\)
5. trójkąt o podanych bokach nie istnieje

Otwarte:

6. wyłączamy przed nawias kolejne czynniki i dostajemy \(\displaystyle{ 2015*2019+4 \equiv 0(mod 2017)}\) co patrząc po resztach jest oczywiście prawdą
7. promień \(\displaystyle{ r=5cm}\)
8. łączna liczba zadań rozwiązanych przez Dankę i Wojtka wynosi \(\displaystyle{ 13}\)
9. różnica \(\displaystyle{ (x-y)}\) wynosi \(\displaystyle{ -4}\)

Zamknięte to mam tak samo. W pierwszym otwartym wyłączyłem przed nawias \(\displaystyle{ 2015 ^{2013}}\), a dalej to wzory skróconego mnożenia, ostateczna postać to \(\displaystyle{ 2015 ^{2013} \cdot 2017^{2}}\).
W 7 mam tak samo, jedynie 8... cóż, myślałem nad nim pół godziny, nie wiem czemu go nie zrobiłem... Jednak coś tam w sumie napisałem, może będzie ten punkt. Albo awans, albo punkt od awansu . Ale w 9 mam inny wynik.. mi wyszło \(\displaystyle{ 4}\). A właściwie, jak mogła ci wyjść minusowa różnica, skoro w warunkach zadania napisane było, że \(\displaystyle{ x > y}\)?

Musiałem przeoczyć ten warunek \(\displaystyle{ x>y}\). Mi po prostu wyszło:
\(\displaystyle{ n^{2}- x^{2}=(n+2) ^{2}-y ^{2}}\)

Co po przekształceniach daje:

\(\displaystyle{ (x+y)(x-y)=-4(n+1)}\)

Czyli zgodnie z założeniami:

\(\displaystyle{ (n+1)(x-y)=-4(n+1)}\)

\(\displaystyle{ (x-y)=-4}\)

Ja zrobiłem to tak:

boki oznaczyłem przez \(\displaystyle{ n}\), \(\displaystyle{ n+1}\) i \(\displaystyle{ n+2}\).
\(\displaystyle{ n+1=x+y}\), więc \(\displaystyle{ n=x+y-1}\), a \(\displaystyle{ n+2=x+y+1}\).

Dalej z pitagorasa \(\displaystyle{ \begin{cases} x ^{2} + h ^{2}= (x+y+1) ^{2} \\ y ^{2}+ h^{2}=(x+y-1) ^{2} \end{cases}}\)

Po odjęciu stronami:

\(\displaystyle{ x ^{2} - y ^{2}=(x+y+1) ^{2} - (x+y-1) ^{2}}\)

Czyli:

\(\displaystyle{ (x+y)(x-y)=(x+y+1+x+y-1)(x+y+1-x-y+1)}\)
\(\displaystyle{ (x+y)(x-y)=2(x+y) \cdot 2}\)
\(\displaystyle{ x-y=4}\)

Wydaje mi się, że w treści zadania było podane \(\displaystyle{ x>y}\), a może \(\displaystyle{ y>x}\) ... ale raczej pierwsza wersja jest prawdziwa.

No ciekawy jestem, ale myślę, że masz racje i to ja nie doczytałem treści, bo tak to możliwe byłyby 2 rozwiązania (chyba, że to błąd organizatorów i będą zaliczali obie wersje :p ). Tak czy inaczej za to zadanie 1-2 pkt muszę dostać bo tok rozumowania mam poprawny tylko złe założenia W sumie i tak się nie martwię bo w tym roku koncentruje się bardziej na OMGu (z kuratora byłem już w zeszłym roku laureatem)

A co do 8 to klasyczny układ równań - może trochę bardziej skomplikowany, ale jak chociaż wymyśliłeś jak ma wyglądać to 1 pkt powinieneś dostać

Jak wygrałeś już kuratoryjny, to mam nadzieję, że to ja mam dobrze, a ty źle .
8. zadanie robiłem dobrze chyba, wyznaczałem wszystko dobrze, ale nie wiem czemu skreśliłem to...
Coś tam później napisałem, ale czy dadzą punkt, nie jestem przekonany.-- 30 paź 2013, o 15:29 --No, awans jest . Teraz powinno pójść z górki.

Taka ciekawostka. W 8 zadaniu, w kluczu, było takie eleganckie rozwiązanie:

Załóżmy, że oboje zrobili źle wszystkie zadania. Wtedy mają \(\displaystyle{ 0}\)pkt. (traci się \(\displaystyle{ 2}\) za złe trudne i \(\displaystyle{ 1}\) za złe łatwe)
Oznaczmy przez \(\displaystyle{ x}\) liczbę zadań trudnych dobrze zrobionych przez chłopca i łatwych dobrze zrobionych przez dziewczynę. Przez \(\displaystyle{ y}\) natomiast liczbę zadań latwych dobrze zrobionych przez chłopca i trudnych dobrze zrobionych przez dziewczynę. Mamy wtedy układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} 7x+3y=67 \\ 7y+3x=63 \end{cases}}\)

2. Dana jest funkcja liniowa \(\displaystyle{ f(x)}\), która spełnia równanie\(\displaystyle{ f(-3x)=2-3 \cdot f(x)}\). W którym miejscu przetnie oś \(\displaystyle{ OY}\)? Moja odp. to \(\displaystyle{ -\frac{2}{3}}\)
7. Dany jest trójkąt ostrokątny \(\displaystyle{ ABC}\), w którym poprowadzono wysokość \(\displaystyle{ CD}\) na podstawę \(\displaystyle{ AB}\). Wysokośc ta dzieli podstawę \(\displaystyle{ AB}\) w stosunku \(\displaystyle{ 2:1}\). Następnie poprowadzono prostą m równoległą do wysokośći \(\displaystyle{ CD}\) przecinającą bok \(\displaystyle{ AB}\) w połowie. W jakim stosunku prosta \(\displaystyle{ m}\) dzieli bok \(\displaystyle{ AC}\)? Moja odp. to \(\displaystyle{ 3:1}\)

Mógłby ktoś rozwiązać te zadania z II etapu, bo nie jestem co do nich pewny w 100%.

2. Podstaw sobie za x 0 i wtedy wyjdzie ci, że \(\displaystyle{ f(0)= \frac{1}{2}}\) taka jest też moja odpowiedź.

7. Mam tak samo jak ty, chociaż trochę mi się poplątało bo przyjąłem, że prosta m przecina bok BC, a nie AC, ale napisałem wyjaśnienie, że to i tak to samo wychodzi.

Ja miałem problemy z ostatnim - zrobiłem rysunek i dosyć sporo wywnioskowałem, ale do samej tezy nie doszedłem, stąd myślę, że za to będę miał 1-2 punkty. Chętnie posłucham twojego rozwiązania

I jeszcze jak zawsze musiałem porobić głupie błędy:
1) w 4 nie umiałem 360 przez 20 podzielić i mi wyszło 12 zamiast 18 także tu mi pewnie 1 punkt utną.

2) w 6 powinno być, że nie ma rozwiązań, a ja doszedłem, że może być \(\displaystyle{ x=2}\) mimo, że wcześniej założyłem, że \(\displaystyle{ x<0}\) mam nadzieje, że więcej niż 1 nie utną bo mogą być wtedy problemy z przejściem, ale praktycznie wszystko dobrze zrobiłem tylko zła odpowiedź.



Reasumując:
1. odpowiedź C
2. odpowiedź D - \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\)
3. \(\displaystyle{ \frac{ a^{2} }{b}}\)
4. powinno być 18
5. każdy bok ośmiokąta ma \(\displaystyle{ \sqrt{5}}\) więc jest on foremny (narysowałem po prostu ośmiokąt i policzyłem, że długość każdego boku jest równa \(\displaystyle{ \sqrt{5}}\) więc jest on foremny)
6. powinno być, że nie ma rozwiązań
7. w stosunku 3:1

1. Odpowiedź to 2, czyli chyba C.
2. Nawet nie byłem blisko, słaby strzał.. \(\displaystyle{ -\frac{2}{3}}\).
3. Tak samo.
4. Darmowe punkty (współczuje ci, że popełniłeś błąd).
5. Ośmiokąt NIE jest foremny, też miałem to zadanie źle. Gdyby był foremny, odcinki \(\displaystyle{ AC}\) i \(\displaystyle{ BD}\) byłyby równe, a nie są. Wielokąt foremny musi mieć i kąty, i boki równe, a ten miał dwa kąty inne. Przynajmniej zrobiłem ładny rysunek, może dostanę punkt . Było chyba za 4pkt? Jeśli tak, to raczej awansuje.
6. Na początku zrobiłem równanie, podniosłem do kwadratu, wyszło, że nie ma rozwiązań, więc na wszelki wypadek rozpisałem zakładając, że \(\displaystyle{ x>2}\), \(\displaystyle{ x=1}\), \(\displaystyle{ x=0}\), \(\displaystyle{ x=-1}\), \(\displaystyle{ x<-1}\), ale raczej maksa powinienem dostać.
7. Jak ujrzałem treść zadania, to się przestraszyłem, bo było geometryczne zadanie. Inne były łatwe, więc to powinno być bardzo trudne, ale też okazało się proste. W ogóle ten drugi etap dziwny był. Łatwy, ale się wywróciłem przy zadaniu z ośmiokątem.
8. Na początku zrobiłem zły rysunek, nie wiedziałem, co to są okręgi styczne zewnętrzne, ale jakoś do tego doszedłem . Oto moje rozwiązanie(rozpisze dane, jeśli nie pamiętasz):
\(\displaystyle{ O}\) - środek mniejszego okręgu
\(\displaystyle{ S}\) - środek większego okręgu, leży na okręgu O. Są styczne wewnętrznie
\(\displaystyle{ AB}\) - cięciwa większego okręgu
\(\displaystyle{ M}\) - punkt, w którym cięciwa przecina mniejszy okrąg
Weźmy pod uwagę trójkąty \(\displaystyle{ AMS}\) i \(\displaystyle{ DMS}\). Wykażemy, że są przystające, czyli że \(\displaystyle{ AM=BM}\). Kąt wpisany \(\displaystyle{ \angle AMS}\) jest oparty na średnicy \(\displaystyle{ SA}\), czyli ma \(\displaystyle{ 90}\) stopni (kąt \(\displaystyle{ \angle BMS}\) również). Odcinki \(\displaystyle{ SA}\) i \(\displaystyle{ SB}\) to promienie większego okręgu, więc są równe. Odcinek \(\displaystyle{ MS}\) to wspólny bok obu trójkątów. Czyli te trójkąty są przystające.
Wydaje mi się, że chyba nie przejdziesz, bo można było stracić max. 5 pkt. Ja straciłem tyle na dwóch zadaniach (albo 4pkt). Jeśli dostanę za wszystkie inne maksymalną liczbę punktów, to przejdę.
ps. gdzie pisałeś? Ja przy ulicy Polnej

Sory, że tak późno odpisuje

5. Jesteś pewien, że rzeczywiście istnieją 2 odcinki różnej długości? Liczyłem dokładnie i każdy mi wyszedł \(\displaystyle{ \sqrt{5}}\), nawet z rysunku wydawało się, że wszystko jest równe. I skąd wniosek, że istnieją 2 kąty są różne?

Niestety z mojej szkoły nikt oprócz mnie nie przeszedł i nie mam okazji z nikim porozmawiać o zadaniach, a ty jak rozumiem podzieliłeś się spostrzeżeniami z innymi

8. Podczas konkursu czytałem zadanie parę razy i nie wiem czy ja nie umiem czytać ze zrozumieniem, czy jednak średnio było sformułowane. Bo mówiąc szczerze nawet rysunku poprawnego niestety nie zrobiłem, wedle twoich oznaczeń od razu mi wyszło i zadanko idzie bez patrzenia wtedy.

Podsumowując to zawaliłem w tym roku totalnie, bo tak jak ośmiokąt jest ostatecznie do wybaczenia (jeśli rzeczywiście nie jest foremny :p) to tych 2 głupich błędów (w 4 i 6) i niepoprawnego rysunku wybaczyć nie można

No ale to, że nie przejdę pozwoli mi się skupić całkowicie na OMGu

PS. Tak, pisałem na Polnej

W 8. nie chodzi mi o boki, a o przekatne \(\displaystyle{ AC i BD}\). Poza tym, zrobiłem rysunek.w Geogebrze i ten ośmiokąt nie jest foremny :p.
Jeśli Cię to pocieszy, to też pisałem sam w sali, w której połowa osób była z jednej szkoły.

Ktoś jeszcze oprócz mnie pisał III etap wojewódzki?
Moje odpowiedzi:
1. \(\displaystyle{ \frac{2}{a}-2a}\)
2. \(\displaystyle{ 0, 1, 2}\)
3. \(\displaystyle{ m=-5}\)
4. \(\displaystyle{ t=4h}\)
5.\(\displaystyle{ P=140cm ^{2}}\)
6. \(\displaystyle{ P _{b} =140cm ^{2}}\)
\(\displaystyle{ S=10(5+ 2\sqrt{2}+ \sqrt{3})}\)
7. \(\displaystyle{ 12,5 \sqrt{3}cm ^{2}}\)

Podaj lepiej treść zadań i ogólne wrażenia bo jestem ciekawy czy dużo straciłem

1.(zamknięte) Dany jest wykres funkcji \(\displaystyle{ f(x)=x- \frac{1}{x}+1}\)
Obliczyć \(\displaystyle{ f(a)-f( \frac{1}{a})}\)
2. Liczby całkowite spełniające równania \(\displaystyle{ \sqrt{4-4x+x ^{2} }}\) i \(\displaystyle{ \sqrt{(-x)^{2}}}\)
3. Funkcja \(\displaystyle{ f(x)=(m-3) \cdot x + \left| x-1\right| -4}\). Dla jakich \(\displaystyle{ m}\) jest rosnąca i przecina oś \(\displaystyle{ OY}\) w punkcie \(\displaystyle{ (0,2}\))
4. Majster i dwóch robotników malujących ściany w danym czasie. Nie chce mi się pisać.
5. Dany jest czworokąt \(\displaystyle{ ABCD}\), którego przekątne \(\displaystyle{ AC}\) i \(\displaystyle{ BD}\) przecinają się w punkcie \(\displaystyle{ O}\) pod kątem prostym.
\(\displaystyle{ \frac{CO}{AO} = \frac{DO}{BO} = \frac{2}{3}}\). Udowodnić, że to jest trapez i obliczyć pole, jeśli \(\displaystyle{ AC=20}\), a \(\displaystyle{ BD=14}\).
6. Ostrosłup \(\displaystyle{ ABCDS}\) o podstawie kwadrata. Krawędź \(\displaystyle{ DS=10}\) jest prostopadła do płaszczyzny podstawy. Ściany \(\displaystyle{ CBS}\) i \(\displaystyle{ BDS}\) są nachylone do podstawy pod kątem \(\displaystyle{ \angle=45.}\) Oblicz sumę krawędzi i pole powierzchni bocznej.
7. W sześcianie o krawędzi \(\displaystyle{ 1dm}\) oznaczono przez \(\displaystyle{ K, L, M}\) środki krawędzi skośnych. Obliczyć pole tego trójkąta.

Zadania banalne łatwe, wyszedłem po 50 min., ale źle zrobiłem ostatnie. Nie słyszałem nigdy o krawędziach skośnych. Jeśli nie wygram konkursu (ale raczej będę laureatem), to się odwołam. To jest zwykłe oszustwo.