[Katowice] Śląski Konkurs Matematyczny 2006
- DEXiu
- Użytkownik
- Posty: 1174
- Rejestracja: 17 lut 2005, o 17:22
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Jaworzno
- Pomógł: 69 razy
[Katowice] Śląski Konkurs Matematyczny 2006
Temat zamieszam głównie w celach informacyjnych. Konkurs jest organizowany w województwie śląskim już po raz trzeci, jako kontynuacja Wojewódzkiego Konkursu z Matematyki dla uczniów szkół średnich i jest przeznaczony dla uczniów klas I i II szkół ponadgimnazjalnych (aczkolwiek gimnazjaliści też się świetnie w nim sprawdzają, co chyba nie dziwi patrząc na poniższe zadania)
Brał ktoś udział w tegorocznych eliminacjach? (czuję, że z tym będzie ciężko, bo na forum mało jest ludzi ze śląska i to jeszcze w odpowiednim przedziale wiekowym). W tym roku zadania z eliminacji były IMHO banalne (a może to po prostu ja zmądrzałem od ubiegłego roku ) - wyszedłem po godzinie z kompletem zadań (czas na rozwiązanie 2 h)
Zadania z eliminacji rejonowych 2005/2006:
Zad. 1
Niech \(\displaystyle{ a,\,b,\,c}\) będą długościami boków trójkąta. Wykaż, że
\(\displaystyle{ \sqrt{-a+b+c}+\sqrt{a-b+c}+\sqrt{a+b-c}\leq\sqrt{3(a+b+c)}}\)
Zad. 2
Rozwiąż równanie \(\displaystyle{ \sqrt{x-2\sqrt{x-1}}+\sqrt{x+2\sqrt{x-1}}=\frac{1}{x-1}}\)
Zad. 3
W trapez równoramienny o podstawach długości a i b można wpisać koło. Oblicz pole tego koła.
Zad. 4
Dany jest ciąg liczbowy \(\displaystyle{ (a_{n})}\) określony wzorem \(\displaystyle{ a_{n}=1^{4n}+2^{4n}+3^{4n}}\), gdzie \(\displaystyle{ n\in\mathbb{N}_{+}}\). Wyznacz zbiór reszt z dzielenia wyrazów ciągu \(\displaystyle{ (a_{n})}\) przez 5.
Brał ktoś udział w tegorocznych eliminacjach? (czuję, że z tym będzie ciężko, bo na forum mało jest ludzi ze śląska i to jeszcze w odpowiednim przedziale wiekowym). W tym roku zadania z eliminacji były IMHO banalne (a może to po prostu ja zmądrzałem od ubiegłego roku ) - wyszedłem po godzinie z kompletem zadań (czas na rozwiązanie 2 h)
Zadania z eliminacji rejonowych 2005/2006:
Zad. 1
Niech \(\displaystyle{ a,\,b,\,c}\) będą długościami boków trójkąta. Wykaż, że
\(\displaystyle{ \sqrt{-a+b+c}+\sqrt{a-b+c}+\sqrt{a+b-c}\leq\sqrt{3(a+b+c)}}\)
Zad. 2
Rozwiąż równanie \(\displaystyle{ \sqrt{x-2\sqrt{x-1}}+\sqrt{x+2\sqrt{x-1}}=\frac{1}{x-1}}\)
Zad. 3
W trapez równoramienny o podstawach długości a i b można wpisać koło. Oblicz pole tego koła.
Zad. 4
Dany jest ciąg liczbowy \(\displaystyle{ (a_{n})}\) określony wzorem \(\displaystyle{ a_{n}=1^{4n}+2^{4n}+3^{4n}}\), gdzie \(\displaystyle{ n\in\mathbb{N}_{+}}\). Wyznacz zbiór reszt z dzielenia wyrazów ciągu \(\displaystyle{ (a_{n})}\) przez 5.
Ostatnio zmieniony 13 lip 2006, o 14:32 przez DEXiu, łącznie zmieniany 1 raz.
- Vixy
- Użytkownik
- Posty: 1830
- Rejestracja: 3 lut 2006, o 15:47
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: z gwiazd
- Podziękował: 302 razy
- Pomógł: 151 razy
[Katowice] Śląski Konkurs Matematyczny 2006
nic nie wiedziałam o takim konkursie , a mieszkam w woj. slaskim i jestem w 2 klasie kiedy bedzie kolejny taki konkurs ?:)
- DEXiu
- Użytkownik
- Posty: 1174
- Rejestracja: 17 lut 2005, o 17:22
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Jaworzno
- Pomógł: 69 razy
[Katowice] Śląski Konkurs Matematyczny 2006
Heh. smerfetka no to ból, bo ten konkurs jest tylko dla uczniów do drugiej klasy włącznie czyli za rok już się nie pobawisz Ale są jeszcze "Rozkosze łamania głowy" przy Pałacu Młodzieży w Katowicach (dzisiaj były znaczy się, ale za rok też są ), ale są trzy wady - konkurs badziewnie zorganizowany, płatny i wpuszczają kolesi z Krakowa i okolic (co z wiadomych względów zawyża progi punktowe i zapycha podium ). Z pozostałych to w trzeciej klasie chyba tylko OM No i jeszcze możesz popróbować sił w MINI albo w MwGMiL, ale to już nie są konkursy lokalne. Nic innego mi na myśl nie przychodzi w tej chwili
- Vixy
- Użytkownik
- Posty: 1830
- Rejestracja: 3 lut 2006, o 15:47
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: z gwiazd
- Podziękował: 302 razy
- Pomógł: 151 razy
[Katowice] Śląski Konkurs Matematyczny 2006
a kiedy był ten konkurs do 2 klas ? , najczesciej brałam udział w kangurze , ale w tym roku zrezygnowałam:) natomiast w OM tylko w gimnazjum , hmm moze pomysle o tym w przyszlym roku ale to bede musiala zaczac robic jakies zadania typowe dla olimpiady
- DEXiu
- Użytkownik
- Posty: 1174
- Rejestracja: 17 lut 2005, o 17:22
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Jaworzno
- Pomógł: 69 razy
[Katowice] Śląski Konkurs Matematyczny 2006
smerfetka18 ==> Tak to jest jak nauczyciele w szkole są niepociumani Szkoda gadać. Jak coś to podaję , może już nie dla ciebie, ale dla przyszłych pokoleń
Lorek ==> Skąd już znasz wyniki? Człowieku, to było dwa dni temu i u nas mówili, że "może będą pod koniec marca"
Lorek ==> Skąd już znasz wyniki? Człowieku, to było dwa dni temu i u nas mówili, że "może będą pod koniec marca"
Ostatnio zmieniony 18 paź 2007, o 21:53 przez DEXiu, łącznie zmieniany 1 raz.
- Lorek
- Użytkownik
- Posty: 7150
- Rejestracja: 2 sty 2006, o 22:17
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Ruda Śląska
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 1322 razy
[Katowice] Śląski Konkurs Matematyczny 2006
Mój nauczyciel był jednym ze sprawdzających, więc poznał je. Z mojej szkoły na 4 startujących jeden dostał się na pewno, a jeden nie wiadomo(prawdobodobnie to zależy od ilości uczestników z tymi samymi wynikami) i dlatego trzeba będzie poczekać do końca marca. A dzień po konkursie na matematyce rozwiązywaliśmy te zadania .DEXiu pisze:Lorek ==> Skąd już znasz wyniki?
Ostatnio zmieniony 18 paź 2007, o 21:54 przez Lorek, łącznie zmieniany 1 raz.
- Tomasz Rużycki
- Użytkownik
- Posty: 2970
- Rejestracja: 8 paź 2004, o 17:16
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Suchedniów/Kraków
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 293 razy
[Katowice] Śląski Konkurs Matematyczny 2006
Wystarczy zrzutowac sobie wierzcholki przeciwlegle do dluzszej podstawy na nia i skorzystac z twierdzenia Pitagorasa (zauwazajac, ze promien okregu wpisanego to polowa wysokosci trapezu opisanego na nim).
- Tomasz Rużycki
- Użytkownik
- Posty: 2970
- Rejestracja: 8 paź 2004, o 17:16
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Suchedniów/Kraków
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 293 razy
[Katowice] Śląski Konkurs Matematyczny 2006
1) \(\displaystyle{ 1^{4n}\equiv 1 od{5}}\),
2) \(\displaystyle{ 2^4 \equiv 1\pmod{5}}\), wiec \(\displaystyle{ 2^{4n}\equiv 1\pmod{5}}\),
3) \(\displaystyle{ 3^2\equiv -1 od{5}}\), wiec \(\displaystyle{ 3^{4n}\equiv 1\pmod{5}}\),
teraz widac?
2) \(\displaystyle{ 2^4 \equiv 1\pmod{5}}\), wiec \(\displaystyle{ 2^{4n}\equiv 1\pmod{5}}\),
3) \(\displaystyle{ 3^2\equiv -1 od{5}}\), wiec \(\displaystyle{ 3^{4n}\equiv 1\pmod{5}}\),
teraz widac?
- DEXiu
- Użytkownik
- Posty: 1174
- Rejestracja: 17 lut 2005, o 17:22
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Jaworzno
- Pomógł: 69 razy
[Katowice] Śląski Konkurs Matematyczny 2006
Hehe. Widzę, że Tomek już wszystko wytłumaczył. Ja jeszcze dodam, że zad. 2 robiło się zwijając to co pod pierwiastkami w kwadrat różnicy i sumy, przechodziło się na moduł i przypadki, a 1. przechodzi w dwóch linijkach z nierówności między średnią arytmetyczną i geometryczną, ale stwierdziłem, że szanowna komisja mogłaby się nieco zirytować takim podejściem do sprawy (chyba nie uznają metod z OMa ), więc walnąłem hasło LEMAT (tutaj pół strony łopatologicznego dowodu nierówności Cauchy'ego arytm.-geom.) potem podstawienie x, y, z za to co tam jest pod kolejnymi pierwiastkami, nierówność obustronnie do kwadratu i na mocy LEMATU mamy co trzeba
- Tomasz Rużycki
- Użytkownik
- Posty: 2970
- Rejestracja: 8 paź 2004, o 17:16
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Suchedniów/Kraków
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 293 razy
[Katowice] Śląski Konkurs Matematyczny 2006
Ladnie idzie tez z Cauchego-Schwarza:
podstawmy sobie \(\displaystyle{ (a,b,c)\equiv (x+y, y+z, z+x)}\).
\(\displaystyle{ 3(x+y+z)=(1^2+1^2+1^2)(\sqrt{x}^2+\sqrt{y}^2+\sqrt{z}^2)\geq (\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z})^2}\), co konczy dowod.
podstawmy sobie \(\displaystyle{ (a,b,c)\equiv (x+y, y+z, z+x)}\).
\(\displaystyle{ 3(x+y+z)=(1^2+1^2+1^2)(\sqrt{x}^2+\sqrt{y}^2+\sqrt{z}^2)\geq (\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z})^2}\), co konczy dowod.