Matematyka.pl

zad. 2

1 stop zawiera:
x miedzi
2x cynku

2 stop zawiera:
3y miedzi
5y cynku

Stop 3 otrzymujemy z połączenia p% stopu 1 i (100-p)% stopu 2 i zawiera on z substancji.
Ilość miedzi zawartej w 3 stopie, która pochodzi ze stopu 1. = \(\displaystyle{ \frac{1}{3} p \% z}\).
Ilość miedzi zawartej w 3 stopie, która pochodzi ze stopu 2.= \(\displaystyle{ \frac{3}{8} (100-p) \% z}\).
Ilość miedzi zawartej w 3 stopie łącznie = \(\displaystyle{ \frac{5}{14} * 100 \% z}\).

\(\displaystyle{ \frac{1}{3} p \% z + \frac{3}{8} * (100-p) \% z = \frac{5}{14} * 100 \% x}\)

Po usunięciu nawiasów i pomnożeniu stronami przez 168 (aby pozbyć się ułamków), a następnie przeniesieniu wyrażeń zawierających "p" na jedną stronę równania, a pozostałych wyrażeń na drugą stronę tego równania, otrzymujemy:

\(\displaystyle{ 300 \% *z = 7p \% *z \Rightarrow p = \frac{300}{7} \Rightarrow (100-p) = \frac{400}{7}}\)

Odpowiedź: Aby otrzymać trzeci stop zawierający miedź i cynk w stosunku 5 : 9 należy wziąć podane w zadaniu 2 stopy w stosunku 3 : 4 (tego drugiego stopu ma być więcej).

zad.3

\(\displaystyle{ u_{1} = 1}\)
\(\displaystyle{ u_{2} = 2*1 + 7 = 9}\)
\(\displaystyle{ u_{3} = 2*9 + 7 = 25}\)
\(\displaystyle{ u_{4} = 2*25 + 7 = 57}\)
...
\(\displaystyle{ u_{n} = 2*u_{n-1} + 7 = a_{n} + b_{n}}\)
\(\displaystyle{ a_{n} = 2^{n-1}}\)
\(\displaystyle{ b_{n} = 7*(n-1)}\)

\(\displaystyle{ sa_{n} = a_{1} * \frac{1 - q^{n} }{1-q} = \frac{1- 2^{n} }{1-2} = 2^{n} - 1}\)
\(\displaystyle{ sb_{n} = \frac{0 + (n-1)*7}{2} * n}\)

\(\displaystyle{ sa_{n} + sb_{n} < 9001}\)
\(\displaystyle{ 2 ^{n} - 1 + n* \frac{7n-7}{2} < 9001}\)
\(\displaystyle{ 2 ^{n+1} - 2 + 7n ^{2} - 7n < 18002}\)
\(\displaystyle{ 2 ^{n+1} < 18004 + 7n - 7n ^{2}}\)

Dalej można sprawdzić graficznie, jaka największa liczba naturalna za wyjątkiem zera spełnia tą nierówność, albo podstawiać kolejne liczby. Załóżmy, że zaczynam od n = 10, a następnie w zależności od wartości logicznej nierówności dla takiej wartości n zwiększam ją lub zmniejszam. Tak więc:

Dla n = 10
2048 < 18004 + 70 - 700

Wartość logiczna = 1, więc zwiększam wartość n szukając największej, dla której odpowiednia nierówność będzie spełniona.

Dla n = 11
4096 < 18004 + 77 - 7 * 121

Dla n = 12
8192 < 18004 + 84 - 7 * 144

Dla n = 13
16384 < 18004 + 91 - 7 * 169

Dla n = 14
32768 < 18004 + 98 - 7 * 196 \(\displaystyle{ \Leftrightarrow}\) 32768 < 16534
fałsz.

Odpowiedź: Największa dodatnia liczba naturalna n, dla której zachodzi nierówność \(\displaystyle{ u_{n} < 9001}\) to 13.



zad.4

W każdym z trzech podpunktów zbiór zdarzeń elementarnych składa się z funkcji, które liczbom naturalnym od 1 do 25 przyporządkowują liczby naturalne ze zbioru od 1 do 31. Są to funkcje, a więc jednemu argumentowi {1,2,3,...,25} zostaje przyporządkowany dokładnie jeden element ze zbioru {1,2,3,..., 31}, natomiast dowolnej liczbie argumentów można przyporządkować taką samą wartość.
Moc omegi = \(\displaystyle{ 31^{25}}\)

a) A - zbiór zdarzeń sprzyjających, składa się ze zdarzeń, w których wylosowano funkcję rosnącą, tj. f(a) > f(b) oraz a > b.
Aby wylosowana funkcja była rosnąca, spośród zbioru wartości musi zostać "wykorzystanych" dokładnie tyle funkcji, ile jest argumentów (25), a ponadto musi zostać zachowany porządek polegający na przyporządkowywaniu coraz to większym argumentom coraz to większe wartości. Zbiór zdarzeń sprzyjających liczy zatem tyle opcji wylosowania funkcji, ile można wybrać 25-elementowych podzbiorów zbioru 31 - elementowego.
\(\displaystyle{ \overline{\overline{A}}}\) = \(\displaystyle{ {31 \choose 25} * 1}\)
\(\displaystyle{ P(A) = \frac{{31 \choose 25}}{31^{25}}}\)

b) A - zbiór zdarzeń sprzyjających, składa się ze zdarzeń, w których wylosowano funkcję przyporządkowującą 25 argumentom zbiór rozwiązań będący podzbiorem zbioru {1,2,3...10}, przy czym przynajmniej jednemu argumentowi musi być przyporządkowana wartość 10.
\(\displaystyle{ \overline{\overline{A}}}\) = \(\displaystyle{ 10^{24}}\)
\(\displaystyle{ P(A) = \frac{ 10^{24} }{31 ^{25} }}\)

c) A - zbiór zdarzeń sprzyjających, składa się ze zdarzeń, w których wybrano funkcję przyporządkowującą 25 argumentom jedną z 2 wartości ze zbioru {x,y}, przy czym \(\displaystyle{ {x,y} \subset {1,2,3,...31}}\) oraz każda z wartości {x,y} musi odpowiadać przynajmniej jednemu argumentowi.
\(\displaystyle{ \overline{\overline{A}}}\) \(\displaystyle{ = {31 \choose 2} * (2 ^{25} - 2)}\).
\(\displaystyle{ P(A) = \frac{{31 \choose 2} * (2 ^{25} - 2)}{31^{25}} = \frac{15*(2 ^{25} - 2)}{31^{24}}}\)


zad.5
Założenie: \(\displaystyle{ x \neq 0}\)

Szukane: \(\displaystyle{ f :}\) {\(\displaystyle{ R \backslash {0} \rightarrow R \wedge f(x) + 4*f( \frac{1}{x} ) = 3x}\)}

\(\displaystyle{ x \in}\){1-,1} \(\displaystyle{ \Rightarrow f(x) = f( \frac{1}{x} )}\)

f(1) + 4 * f(1) = 3x
\(\displaystyle{ f(1) = \frac{3}{5} x}\)
\(\displaystyle{ f(1) = \frac{3}{5}}\)

\(\displaystyle{ f(-1) + 4 * f(-1) = 3x}\)
\(\displaystyle{ f(-1) = - \frac{3}{5}}\)


Do zbioru argumentów nie należy jedynie 0, dlatego zakładam, że szukana funkcja jest funkcją homograficzną.

\(\displaystyle{ f(x) = \frac{a}{x} + p}\)
\(\displaystyle{ - \frac{3}{5} = -a + p}\)
\(\displaystyle{ \frac{3}{5} = a + p}\)

p = 0
\(\displaystyle{ a = \frac{3}{5}}\)

Odp: \(\displaystyle{ f(x) = \frac{3}{5x}}\)

Oceny:

Zadanie 1 - brak
Zadanie 2 - 6
Zadanie 3 - 0
Zadanie 4 - 2
Zadanie 5 - 0

--

Komentarze:

Zadanie 3:

\(\displaystyle{ u_{n} = 2*u_{n-1} + 7 = a_{n} + b_{n}}\)
\(\displaystyle{ a_{n} = 2^{n-1}}\)
\(\displaystyle{ b_{n} = 7*(n-1)}\)

Zakładasz bez dowodu, że \(\displaystyle{ u_{n} = 2^{n-1} + 7(n-1)}\), co nie jest prawdą. O dziwo potem po dziwnych przekształceniach dochodzisz, że \(\displaystyle{ u_n}\) jednak się tyle nie równa. Błędny tok rozumowania.

Zadanie 4: b) Liczysz kilkukrotnie te same możliwości (np. wybierasz, że f(1)=10, ale skoro wszystkie następne f(n) mogą przyjmować każdą z 10 wartości, to może być np. f(2)=10 - tą samą możliwość liczysz ponownie w sytuacji, gdy wybierasz f(2)=10, itp.)

Zadanie 5:

dlatego zakładam, że szukana funkcja jest funkcją homograficzną

Błąd logiczny.

Zgadzam się z ocenami i przedstawioną argumentacją.