zad. 1. - co nie co
musi być spełniony warunek \(\displaystyle{ xy-(xy)^2 \ge 0}\) skąd wynika, że \(\displaystyle{ 1 \ge xy \ge 0}\). (łatwo zauwazyc ze nie moze byc \(\displaystyle{ xy=0}\)) ponadto \(\displaystyle{ \sqrt{xy-(xy)^2} \le \frac{1}{2}}\). zauważmy teraz, że:
\(\displaystyle{ \frac{1}{2} \ge \sqrt{xy-(xy)^2}=y^6+y^2+2x^2}\)
i
\(\displaystyle{ 4xy^3+y^3+ \frac{1}{2} \ge 2x^2+ \sqrt{1+(2x-y)^2} \ge 2x^2+1}\)
dodając powyzsze nierówności stronami dostajemy
\(\displaystyle{ 4xy^3 \ge y^6+4x^2}\)
ale stosujac nierownosc miedzy srednia arytmetyczna a geometryczna mamy
\(\displaystyle{ y^6+4x^2 \ge 4|xy^3|=4xy^3}\)
wobec tego musi zachodzic rownosc \(\displaystyle{ 2|x|=|y^3|}\) ktora wobec \(\displaystyle{ xy > 0}\) daje nam \(\displaystyle{ x= \frac{y^3}{2}}\). podstawiajac te zaleznosc do danych w tresci zadania: rownosci i nierownosci, po banalnych przeksztalceniach dostaniemy:
\(\displaystyle{ (y+1)(9y^7-9y^6+9y^5+3y^4-2y^3+2y^2+2y-2)=9y^8+12y^5+y^4+4y^2-2=0}\)
oraz
\(\displaystyle{ y^3(9y^9+12y^6+9y^3+2y+4) \ge 0}\)
jesli \(\displaystyle{ y=-1}\) to \(\displaystyle{ x= -\frac{1}{2}}\)-ta para nie spelnia danego ukladu. załóżmy wiec ze istnieje liczba \(\displaystyle{ y \neq -1}\) dla ktorej istnieje \(\displaystyle{ x}\) takie ze para \(\displaystyle{ (x,y)}\) spelnia ten uklad.
wtedy
\(\displaystyle{ 0 \le y^3(9y^9+12y^6+9y^3+2y+4)=y^3( y(9y^8+12y^5+y^4+4y^2-2)-y^5+5y^3+4)= y^3(-y^5+5y^3+4)}\)
\(\displaystyle{ 1 \ge xy= \frac{y^4}{2}}\) wiec \(\displaystyle{ y\in <- \sqrt{2}; \sqrt{2}>}\). w tym przedziale funkcja \(\displaystyle{ f(y)=-y^5+5y^3+4}\) jest rosnaca i tu pomysłów brak...
zad. 2.
wezmy jedna jednostke pierwszego stopu i \(\displaystyle{ n}\) jednostek drugiego stopu. w pierwszej probce mamy \(\displaystyle{ \frac{1}{3}}\) jednostek miedzi i \(\displaystyle{ \frac{2}{3}}\) jednostek cyny. w drugiej probce mamy \(\displaystyle{ \frac{3}{8}}\) jednostek miedzi i \(\displaystyle{ \frac{5}{8}}\) jednostek cyny.
aby spelniona byla postulowana zaleznosc musi zachodzic rownosc
\(\displaystyle{ \frac{ \frac{1}{3}+ \frac{3}{8}n }{ \frac{2}{3}+ \frac{5}{8}n }= \frac{5}{9}}\). po elementarnych przeksztalceniach dostaniemy \(\displaystyle{ n= \frac{4}{3}}\) wiec stopy nalezy wziac w stosunku \(\displaystyle{ 3:4}\)
zad. 3.
\(\displaystyle{ u_1=1}\)
\(\displaystyle{ u_2=5}\)
\(\displaystyle{ u_3=25}\)
\(\displaystyle{ u_4=57}\)
\(\displaystyle{ u_5=121}\)
\(\displaystyle{ u_6=249}\)
\(\displaystyle{ u_7=505}\)
\(\displaystyle{ u_8=1017}\)
\(\displaystyle{ u_9=2041}\)
\(\displaystyle{ u_10=4089}\)
\(\displaystyle{ u_11=8185}\)
\(\displaystyle{ u_12=16377}\)
ciag jest rosnacy wiec szukana wartość \(\displaystyle{ n=11}\)
zad. 4.
a)
funkcja rosnaca jest roznowartosciowa, wiec 25 roznych wartosci ktore ona przyjmuje jednoznacznie ja wyznacza. wobec tego szukane prawdopodobienstwo wynosi \(\displaystyle{ \frac{ {31 \choose 25} }{31^{25}}= \frac{23751}{31^{24}}}\)
b)
istnieje \(\displaystyle{ {25 \choose k}9^{25-k}}\) funkcji ktore maksimum \(\displaystyle{ =10}\) przyjmuja dla \(\displaystyle{ k}\) argumentow.
korzystajac ze wzoru dwumianowego Newtona otrzymujemy \(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{25} {25 \choose k}9^{25-k}=9^{25}(\sum_{k=0}^{25} {25 \choose k}9^{-k}-1)=9^{25}(( \frac{1}{9}+1)^{25}-1)=10^{25}-9^{25}}\)
tak wiec
\(\displaystyle{ P= \frac{10^{25}-9^{25}}{31^{25}}}\)
c)
dwie wartosci mozna wybrac na \(\displaystyle{ {31 \choose 2}=465}\) sposobow. funkcja jest jednoznacznie wyznaczona przez wstazanie argumentow dla ktorych przyjmuje ona mniejsza wartosc (z tych dwoch), co mozna zrobic na \(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{24} {25 \choose k} =2^{25}-2}\) sposoby. wobec tego
\(\displaystyle{ P= \frac{465(2^{25}-2)}{31^{25}}}\)
zad. 5.
\(\displaystyle{ f( \frac{1}{x})+4f(x)= \frac{3}{x}}\)
wstawiajac \(\displaystyle{ x:= \frac{1}{x}}\) dostajemy \(\displaystyle{ f(x)+4f( \frac{1}{x})=3x}\). mnozac stronami pierwsza rownosc przez 4 i odejmujac od niej druga rownosc dostajemy \(\displaystyle{ f(x)= \frac{4}{5x}- \frac{x}{5}}\). łatwo sprawdzic ze funkac ta spelnia warunki zadania.
Kategoria II, 4 lipca 2009, 17:47
- Sylwek
- Użytkownik
- Posty: 2716
- Rejestracja: 21 maja 2007, o 14:24
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 160 razy
- Pomógł: 657 razy
Kategoria II, 4 lipca 2009, 17:47
Oceny:
Zadanie 1 - 2
Zadanie 2 - 6
Zadanie 3 - 2
Zadanie 4 - 6
Zadanie 5 - 6
--
Komentarze:
Zadanie 1: Nierówności typu: \(\displaystyle{ \sqrt{t-t^2} \le \frac{1}{2}}\) należy uzasadnić. Należało zauważyć, że równości zachodzą we wszystkich trzech dowiedzionych przez Ciebie nierównościach, co praktycznie zakończyłoby zadanie. Dwójka za dobre szacowanie nierównościami, można to uznać za pół zadania. Niestety łatwiejsze pół nie dostało szansy powodzenia. P.S. Para \(\displaystyle{ (x,y)=(-\frac{1}{2},-1)}\) spełnia ten układ.
Zadanie 3: Błąd rachunkowy przy wyliczaniu \(\displaystyle{ u_2}\), ale potem poprawiony. Skoro już robisz siłowo, postaraj się o dokładność. Powinieneś więc udowodnić, że rzeczywiście jest to ciąg rosnący - a nie tylko stwierdzić fakt. Jest to rzecz banalna do zauważenia, ale dość istotna jeśli chodzi o poprawne dojście do wyniku. Nie zapominaj, że komisje na olimpiadach i konkursach bardzo lubią się czepiać brutalnych rozwiązań
Zadanie 1 - 2
Zadanie 2 - 6
Zadanie 3 - 2
Zadanie 4 - 6
Zadanie 5 - 6
--
Komentarze:
Zadanie 1: Nierówności typu: \(\displaystyle{ \sqrt{t-t^2} \le \frac{1}{2}}\) należy uzasadnić. Należało zauważyć, że równości zachodzą we wszystkich trzech dowiedzionych przez Ciebie nierównościach, co praktycznie zakończyłoby zadanie. Dwójka za dobre szacowanie nierównościami, można to uznać za pół zadania. Niestety łatwiejsze pół nie dostało szansy powodzenia. P.S. Para \(\displaystyle{ (x,y)=(-\frac{1}{2},-1)}\) spełnia ten układ.
Zadanie 3: Błąd rachunkowy przy wyliczaniu \(\displaystyle{ u_2}\), ale potem poprawiony. Skoro już robisz siłowo, postaraj się o dokładność. Powinieneś więc udowodnić, że rzeczywiście jest to ciąg rosnący - a nie tylko stwierdzić fakt. Jest to rzecz banalna do zauważenia, ale dość istotna jeśli chodzi o poprawne dojście do wyniku. Nie zapominaj, że komisje na olimpiadach i konkursach bardzo lubią się czepiać brutalnych rozwiązań
Ostatnio zmieniony 14 lip 2009, o 21:08 przez Sylwek, łącznie zmieniany 5 razy.
-
- Użytkownik
- Posty: 8601
- Rejestracja: 1 maja 2006, o 20:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 47 razy
- Pomógł: 1816 razy
Kategoria II, 4 lipca 2009, 17:47
Nie chce się za bardzo wtrącać w kompetencje sprawdzających, ale co do zadania 3 to wydaje mi się, że skoro ktoś już rozwiązuje to zadanie siłowo, to mógłby się postarać i udowodnić, że rzeczywiście jest to ciąg rosnący - a nie tylko stwierdzić fakt. Być może jest to rzecz banalna do zauważenia, ale dość istotna jeśli chodzi o poprawne dojście do wyniku. Dlatego proponuję w tym przypadku 2pkt. za to zadanie.
-
- Użytkownik
- Posty: 4438
- Rejestracja: 17 kwie 2007, o 13:44
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 1313 razy
Kategoria II, 4 lipca 2009, 17:47
Zgadzam się z zaproponowanymi ocenami zadań 2-5.
Jeśli chodzi o zadanie 1. to należy zwrócić uwagę na fragmenty:
Pozostaje zatem tylko uznać zadanie za niezaliczone.
Jeśli chodzi o zadanie 1. to należy zwrócić uwagę na fragmenty:
W pierwszym brak wnioskowania prowadzącego do otrzymanej nierówności, w drugim - wyraźna pomyłka (choć być może jest ona wynikiem nieuwagi), wreszcie w trzecim - zasadnicza uwaga: dowód faktu, że nie istnieje inna para liczb \(\displaystyle{ (x,y)}\) będąca rozwiązaniem układu, jest niedokończony.ponadto \(\displaystyle{ \sqrt{xy-(xy)^2} \le \frac{1}{2}}\). (...)
jesli \(\displaystyle{ y=-1}\) to \(\displaystyle{ x= -\frac{1}{2}}\)-ta para nie spelnia danego ukladu. (...)
i tu pomysłów brak...
Pozostaje zatem tylko uznać zadanie za niezaliczone.
- Sylwek
- Użytkownik
- Posty: 2716
- Rejestracja: 21 maja 2007, o 14:24
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 160 razy
- Pomógł: 657 razy
Kategoria II, 4 lipca 2009, 17:47
Zadanie 1 - Proponowałbym jednak zostać przy dwójce. Oczywiście duża nieuwaga i zbytnie uznawanie faktów za "oczywiste". Niemniej dojście do równości: \(\displaystyle{ x=\frac{y^3}{2}}\) znacznie upraszcza zadanie i chyba można je uznać za połowę. Na pewno ocena za zadanie 3 pokaże tej osobie, że trzeba być uważnym i rozpisywać swoje kroki.
Zadanie 3 - Niech będzie dwójka. Być może to surowa ocena, ale za nawet niewielkie pomyłki w "przeliczaniu" analitycznym geometrii na OM punkty są obcinane praktycznie do 0, więc...
OK?
Zadanie 3 - Niech będzie dwójka. Być może to surowa ocena, ale za nawet niewielkie pomyłki w "przeliczaniu" analitycznym geometrii na OM punkty są obcinane praktycznie do 0, więc...
OK?