Równoważniki aksjomatu wyboru

Zbiór wzorów, definicji i najczęściej poruszanych problemów ze Zbiór-ki.
Awatar użytkownika
yorgin
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 12762
Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 17 razy
Pomógł: 3440 razy

Równoważniki aksjomatu wyboru

Post autor: yorgin »

Równoważniki aksjomatu wyboru



Celem niniejszego artykułu jest:
  • zaprezentowanie niektórych z licznych form równoważnych aksjomatu wyboru,
  • wskazanie możliwych technik dowodowych między wybranymi sformułowaniami aksjomatu wyboru,
  • wskazanie wybranych konsekwencji aksjomatu w różnych dziedzinach matematyki.
Celem nie jest
  • dyskusja na temat sensowności założenia aksjomatu wyboru bądź też jego braku,
  • konfrontacja egzystencjalizmu i konstruktywizmu.



W tym rozdziale jako punkt odniesienia formułujemy aksjomat wyboru oraz formułujemy niezbędne do równoważnych sformułowań definicje. Zakłada się, że Czytelnik zna podstawowe pojęcia z teorii mnogości.

Aksjomat Wyboru (AW)
Niech \(\displaystyle{ I\neq \emptyset}\) oraz \(\displaystyle{ \{X_i\}_{i\in I}}\) będzie niepustą rodziną zbiorów niepustych. Wtedy istnieje funkcja wyboru \(\displaystyle{ \tau:I\to\bigcup\limits_{i\in I}X_i}\) taka, że \(\displaystyle{ \tau(i)\in X_i}\) dla wszystkich \(\displaystyle{ i\in I}\).

Definicja 2.1
Relację porządku liniowego w zbiorze \(\displaystyle{ X}\) nazywamy relacją dobrego porzadku, gdy każdy niepusty podzbiór \(\displaystyle{ A\subset X}\) posiada element najmniejszy.
Niepusty podzbiór \(\displaystyle{ A\subset X}\) nazywamy łańcuchem, gdy \(\displaystyle{ R\big|_{A}}\) jest porządkiem liniowym.
Niepusty podzbiór \(\displaystyle{ A\subset X}\) nazywamy antyłańcuchem, gdy dowolne dwa elementy tego zbioru są nieporównywalne (tj nie są ze sobą w relacji).

Definicja 2.2
Niech \(\displaystyle{ I\neq \emptyset}\) oraz \(\displaystyle{ \{X_i\}_{i\in I}}\) będzie niepustą rodziną zbiorów niepustych i parami rozłącznych. Zbiór \(\displaystyle{ Z}\) taki, że \(\displaystyle{ Z\cap X_i}\) jest singletonem (zbiorem jednoelementowym) dla dowolnego \(\displaystyle{ i\in I}\) nazywamy selektorem rodziny \(\displaystyle{ \{X_i\}_{i\in I}}\).

Definicja 2.3
Rodzina zbiorów \(\displaystyle{ \mathcal{X}}\) jest skończonego rzędu, gdy:

1. Dla dowolnego \(\displaystyle{ A\in\mathcal{X}}\) oraz \(\displaystyle{ B\subset A}\) zachodzi \(\displaystyle{ B\in \mathcal{X}}\).

2. Jeżeli dowolny skończony podzbiór \(\displaystyle{ A}\) należy do \(\displaystyle{ \mathcal{X}}\), to \(\displaystyle{ A\in\mathcal{X}}\).

Definicja 2.4
Przestrzeń topologiczną \(\displaystyle{ X}\) nazywamy zwartą, gdy jest ona przestrzenią Hausdorffa oraz z dowolnego pokrycia otwartego tej przestrzeni można wybrać podpokrycie skończone.





Lemat Kuratowskiego-Zorna (LKZ)
Jeżeli w niepustym zbiorze częściowo uporządkowanym każdy niepusty łańcuch ma majorantę, to w tym zbiorze istnieje element maksymalny.


Zasada Hausdorffa (ZH)
W każdym niepustym zbiorze częściowo uporządkowanym istnieje łańcuch maksymalny względem relacji inkluzji.


Aksjomat Zermelo (AZ)
Dla dowolnej niepustej rodziny zbiorów \(\displaystyle{ \{X_i\}_{i\in I}}\) niepustych i parami rozłącznych istnieje selektor.


Twierdzenie o dobrym uporządkowaniu (DU)
Kazdy zbiór można uporządkować relacją dobrego porządku.


Twierdzenie Tichonowa (TT)
Niech \(\displaystyle{ \{X_i\}_{i\in I}}\) będzie dowolną niepustą rodziną niepustych przestrzeni topologicznych zwartych. Wtedy produkt kartezjański \(\displaystyle{ \prod\limits_{i\in I} X_i}\) jest przestrzenią zwartą.


Twierdzenie Teichmüllera–Tukey'a (TTT)
Dowolna niepusta rodzina skończonego rzędu posiada element maksymalny względem relacji inkluzji.


Zasada antyłańcucha (ZA)
W każdym niepustym zbiorze częściowo uporządkowanym istnieje antyłańcuch maksymalny względem relacji inkluzji.


Główne twierdzenie:
\(\displaystyle{ (AW)\iff (LKZ) \iff (ZH) \iff (AZ) \iff (DU) \iff (TT) \iff (TTT)\iff (ZA)}\)



\(\displaystyle{ (ZH)\Rightarrow (LKZ)}\)
Dowód:    
\(\displaystyle{ (LKZ)\Rightarrow (ZH)}\)
Dowód:    
\(\displaystyle{ (AW)\Rightarrow (AZ)}\)
Dowód:    
\(\displaystyle{ (AZ)\Rightarrow (AW)}\)
Dowód:    
\(\displaystyle{ (LKZ)\Rightarrow (AW)}\)
Dowód:    
\(\displaystyle{ (LKZ)\Rightarrow (ZA)}\)
Dowód:    
\(\displaystyle{ (TT)\Rightarrow (LKZ)}\)
Aksjomat wyboru oraz jego równoważniki mają liczne konsekwencje w wielu dziedzinach matematyki. Zaliczyć do nich możemy między innymi:
  • Każda przestrzeń wektorowa posiada bazę liniową.
  • Każde ciało ma swoje domknięcie algebraiczne.
  • W dowolnym pierścieniu z jedynką istnieje ideał maksymalny.
  • Dowolny graf ma drzewo rozpinające.
  • Twierdzenie Hahna-Banacha.
  • Paradoks Banacha-Tarskiego.
  • Każda surjekcja posiada prawą odwrotną, tj jeżeli \(\displaystyle{ f:X\to Y}\) jest surjekcją, to istnieje inkecja \(\displaystyle{ g:Y\to X}\) tata, że \(\displaystyle{ f\circ g=id_Y}\).
  • Spójnośc liczb kardynalnych: Jeżeli \(\displaystyle{ \#A=\alpha, \# B=\beta}\), to \(\displaystyle{ \alpha\leq \beta \vee \beta\leq \alpha}\).
Wszystkie uwagi proszę kierować wyłącznie na PW.

Jeżeli chcesz uzupełnić listę dowodów, wyślij na PW zredagowane już rozumowanie. Ja chętnie je zamieszczę zaznaczając jednocześnie, kto jest autorem rozumowania.
Zablokowany