Równoważniki aksjomatu wyboru
Spis treści:
1. O czym jest poniższy artykuł?
2. Niezbędne definicje
3. Równoważne sformułowania aksjomatu wyboru
4. Wybrane dowody
5. Wybrane konsekwencje
1. O czym jest poniższy artykuł?
2. Niezbędne definicje
3. Równoważne sformułowania aksjomatu wyboru
4. Wybrane dowody
5. Wybrane konsekwencje
Celem niniejszego artykułu jest:
- zaprezentowanie niektórych z licznych form równoważnych aksjomatu wyboru,
- wskazanie możliwych technik dowodowych między wybranymi sformułowaniami aksjomatu wyboru,
- wskazanie wybranych konsekwencji aksjomatu w różnych dziedzinach matematyki.
- dyskusja na temat sensowności założenia aksjomatu wyboru bądź też jego braku,
- konfrontacja egzystencjalizmu i konstruktywizmu.
W tym rozdziale jako punkt odniesienia formułujemy aksjomat wyboru oraz formułujemy niezbędne do równoważnych sformułowań definicje. Zakłada się, że Czytelnik zna podstawowe pojęcia z teorii mnogości.
Aksjomat Wyboru (AW)
Niech \(\displaystyle{ I\neq \emptyset}\) oraz \(\displaystyle{ \{X_i\}_{i\in I}}\) będzie niepustą rodziną zbiorów niepustych. Wtedy istnieje funkcja wyboru \(\displaystyle{ \tau:I\to\bigcup\limits_{i\in I}X_i}\) taka, że \(\displaystyle{ \tau(i)\in X_i}\) dla wszystkich \(\displaystyle{ i\in I}\).
Definicja 2.1
Relację porządku liniowego w zbiorze \(\displaystyle{ X}\) nazywamy relacją dobrego porzadku, gdy każdy niepusty podzbiór \(\displaystyle{ A\subset X}\) posiada element najmniejszy.
Niepusty podzbiór \(\displaystyle{ A\subset X}\) nazywamy łańcuchem, gdy \(\displaystyle{ R\big|_{A}}\) jest porządkiem liniowym.
Niepusty podzbiór \(\displaystyle{ A\subset X}\) nazywamy antyłańcuchem, gdy dowolne dwa elementy tego zbioru są nieporównywalne (tj nie są ze sobą w relacji).
Definicja 2.2
Niech \(\displaystyle{ I\neq \emptyset}\) oraz \(\displaystyle{ \{X_i\}_{i\in I}}\) będzie niepustą rodziną zbiorów niepustych i parami rozłącznych. Zbiór \(\displaystyle{ Z}\) taki, że \(\displaystyle{ Z\cap X_i}\) jest singletonem (zbiorem jednoelementowym) dla dowolnego \(\displaystyle{ i\in I}\) nazywamy selektorem rodziny \(\displaystyle{ \{X_i\}_{i\in I}}\).
Definicja 2.3
Rodzina zbiorów \(\displaystyle{ \mathcal{X}}\) jest skończonego rzędu, gdy:
1. Dla dowolnego \(\displaystyle{ A\in\mathcal{X}}\) oraz \(\displaystyle{ B\subset A}\) zachodzi \(\displaystyle{ B\in \mathcal{X}}\).
2. Jeżeli dowolny skończony podzbiór \(\displaystyle{ A}\) należy do \(\displaystyle{ \mathcal{X}}\), to \(\displaystyle{ A\in\mathcal{X}}\).
Definicja 2.4
Przestrzeń topologiczną \(\displaystyle{ X}\) nazywamy zwartą, gdy jest ona przestrzenią Hausdorffa oraz z dowolnego pokrycia otwartego tej przestrzeni można wybrać podpokrycie skończone.
Lemat Kuratowskiego-Zorna (LKZ)
Jeżeli w niepustym zbiorze częściowo uporządkowanym każdy niepusty łańcuch ma majorantę, to w tym zbiorze istnieje element maksymalny.
Zasada Hausdorffa (ZH)
W każdym niepustym zbiorze częściowo uporządkowanym istnieje łańcuch maksymalny względem relacji inkluzji.
Aksjomat Zermelo (AZ)
Dla dowolnej niepustej rodziny zbiorów \(\displaystyle{ \{X_i\}_{i\in I}}\) niepustych i parami rozłącznych istnieje selektor.
Twierdzenie o dobrym uporządkowaniu (DU)
Kazdy zbiór można uporządkować relacją dobrego porządku.
Twierdzenie Tichonowa (TT)
Niech \(\displaystyle{ \{X_i\}_{i\in I}}\) będzie dowolną niepustą rodziną niepustych przestrzeni topologicznych zwartych. Wtedy produkt kartezjański \(\displaystyle{ \prod\limits_{i\in I} X_i}\) jest przestrzenią zwartą.
Twierdzenie Teichmüllera–Tukey'a (TTT)
Dowolna niepusta rodzina skończonego rzędu posiada element maksymalny względem relacji inkluzji.
Zasada antyłańcucha (ZA)
W każdym niepustym zbiorze częściowo uporządkowanym istnieje antyłańcuch maksymalny względem relacji inkluzji.
Główne twierdzenie:
\(\displaystyle{ (AW)\iff (LKZ) \iff (ZH) \iff (AZ) \iff (DU) \iff (TT) \iff (TTT)\iff (ZA)}\)
\(\displaystyle{ (ZH)\Rightarrow (LKZ)}\)
Dowód:
Dowód:
Dowód:
Dowód:
Dowód:
Dowód:
Dowód:
Aksjomat wyboru oraz jego równoważniki mają liczne konsekwencje w wielu dziedzinach matematyki. Zaliczyć do nich możemy między innymi:
- Każda przestrzeń wektorowa posiada bazę liniową.
- Każde ciało ma swoje domknięcie algebraiczne.
- W dowolnym pierścieniu z jedynką istnieje ideał maksymalny.
- Dowolny graf ma drzewo rozpinające.
- Twierdzenie Hahna-Banacha.
- Paradoks Banacha-Tarskiego.
- Każda surjekcja posiada prawą odwrotną, tj jeżeli \(\displaystyle{ f:X\to Y}\) jest surjekcją, to istnieje inkecja \(\displaystyle{ g:Y\to X}\) tata, że \(\displaystyle{ f\circ g=id_Y}\).
- Spójnośc liczb kardynalnych: Jeżeli \(\displaystyle{ \#A=\alpha, \# B=\beta}\), to \(\displaystyle{ \alpha\leq \beta \vee \beta\leq \alpha}\).
Jeżeli chcesz uzupełnić listę dowodów, wyślij na PW zredagowane już rozumowanie. Ja chętnie je zamieszczę zaznaczając jednocześnie, kto jest autorem rozumowania.