Podstawy teorii zbiorów

Zbiór wzorów, definicji i najczęściej poruszanych problemów ze Zbiór-ki.
Awatar użytkownika
mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 11266
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 3143 razy
Pomógł: 747 razy

Podstawy teorii zbiorów

Post autor: mol_ksiazkowy »

Pojęcie zbioru jest jednym z podstawowych w całej matematyce. Przyjmujemy go bez definicji- czasem używa sie zamiennie określeń kolekcja , mnogość (ang. set ) itp; jego sens intuicyjny jest dosyć jasny i oczywisty. Obecnie zapoznamy się nieco bliżej z tym ważnym pojęciem i zobaczymy do czego m. in mogło by być ono przez nas uzyte oraz jakie płyną z niego praktyczne korzyści ?!

Gdy mamy zbiór \(\displaystyle{ A}\) i elementy \(\displaystyle{ a, b.}\) Jeśli jeden z nich - np. \(\displaystyle{ a}\) należy do tego zbioru, zas \(\displaystyle{ b}\) - nie, to: \(\displaystyle{ a \in A}\), jak też \(\displaystyle{ b \notin A}\) .Mówimy, że zbiór \(\displaystyle{ B}\) jest podzbiorem zbioru \(\displaystyle{ A}\), jeśli każdy element z \(\displaystyle{ B}\) należy do \(\displaystyle{ A}\). W tym kontekście \(\displaystyle{ A}\) zwie się też czasem nadzbiorem. Wreszcie równość zbiorów rozumiemy w tym sensie, iż: \(\displaystyle{ A=B}\), jeśli wzajemnie się one w sobie zawierają. Zbiór nie zawierający żadnego elementu oznaczamy symbolem \(\displaystyle{ \emptyset}\) i nazywamy zbiorem pustym. Zbiór ten jest podzbiorem każdego zbioru.
Jest on- jak się wkrótce przykonamy niezwykle ważny! Uwaga: Jak już wiemy zapis

\(\displaystyle{ B \subset A}\)

oznacza, iż zbiór \(\displaystyle{ B}\) jest pozbiorem \(\displaystyle{ A}\). Jeśli mamy tez \(\displaystyle{ A \neq B}\), to mówimy - właściwym. Bowiem każdy zbiór jest podzbiorem samego siebie (niewłaściwym). Przejdźmy obecnie do omówienia sobie najważniejszych dzialań na zbiorach, tj. iloczynu (\(\displaystyle{ \cap}\)) sumy ( \(\displaystyle{ \cup}\)) i różnicy ( \(\displaystyle{ -}\) ): Iloczyn lub przekrój zbiorów \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) oznaczamy przez \(\displaystyle{ A \cap B}\) i definiujemy jako zbiór tych elementów, które należą zarówno do \(\displaystyle{ A}\) jak i do \(\displaystyle{ B}\). Jeśli nie ma takich, to \(\displaystyle{ A \cap B = \emptyset}\) a zbiory \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) nazywamy rozłącznymi.

Drugą kluczową operacją jest suma zapisywana jako \(\displaystyle{ A \cup B}\), tworzą ją te elementy, które należą do \(\displaystyle{ A}\) lub do \(\displaystyle{ B}\). I wreszcie mamy różnicę - notacja jak w algebrze: \(\displaystyle{ A - B}\).-odpowiada tym elementom z \(\displaystyle{ A}\), które nie należą do \(\displaystyle{ B}\). Istnieje wiele zależności wiążących wymienione wyżej operacje na zbiorach, np jest jasne wprost z definicji, że działanie sumy i iloczynu jest łączne oraz przemienne. Jednak cztery wzory zasługują na szczególne omówienie.:

\(\displaystyle{ A \cap (A \cup B) = A}\)
\(\displaystyle{ (A \cap B) \cup B = B}\)
\(\displaystyle{ A \cap (B \cup C) = (A \cap B)\cup(A \cap C)}\)
\(\displaystyle{ A \cup (B \cap C) = (A \cup B)\cap(A \cup C)}\)

Pierwszy dwa wzory są to tzw. prawa absorbcji. Trzeci z wypisanych powyżej - to prawo rozdzielności dodawania względem mnożenia i jest ono odpowiednikiem tegoż prawa w arytmetyce liczb rzeczywistych. Ostatnia zaś tożsamość -niejako "dualna" do poprzedniej nie ma- jak łatwo sie przekonać takowej analogii. I na koniec trzy ciekawe wzory, mające duże praktyczne zastosowanie:

\(\displaystyle{ A \cap (B - C) = (A \cap B) - C}\)
\(\displaystyle{ (A \cup B)- C =(A -C) \cup (B-C)}\)
\(\displaystyle{ A- (B-C) = (A-B) \cup (A \cap C)}\)


Przestrzeń. Dopełnienie zbioru
Na ogół w teorii mnogości mamy daną pewną przestrzeń, tj. zbiór \(\displaystyle{ X}\) i rozważamy wszystkie możliwe podzbiory tej przestrzeni. Jeśli więc \(\displaystyle{ A \subset X}\), to dopełnienie zbioru \(\displaystyle{ A}\) definiujemy jako:

\(\displaystyle{ A^\prime = X- A}\)

to znaczy ogół tych elementów przestrzeni \(\displaystyle{ X}\), które nie należą do zbioru \(\displaystyle{ A}\). Oznaczamy je dla wygody symbolem \(\displaystyle{ A^ \prime}\). Wprost z tej definicji wynikają poniższe zależności:

\(\displaystyle{ A \cup A^ \prime = X}\)
\(\displaystyle{ A \cap A^ \prime = \emptyset}\)
\(\displaystyle{ X^ \prime = \emptyset}\)
\(\displaystyle{ \emptyset^ \prime = X}\)

\(\displaystyle{ (A ^\prime)^\prime = A}\)

i.....

Jeśli mamy dwa zbiory, A, B to wtedy mają miejsce poniższe wzory. Ostatnie cztery z nich są to prawa de Mograna dla zbiorów -klasyczne: mówiące, iż dopełnienie sumy dwóch zbiorów jest równe przekrojowi dopełnień, zaś dopełnienie przekroju to suma dopełnień -i prawa d-M dla róznicy: :

\(\displaystyle{ (A \subset B ) \Leftrightarrow (A^\prime \supset B^\prime)}\)
\(\displaystyle{ A \subset B \Leftrightarrow A\cap B^ \prime = \emptyset}\)
\(\displaystyle{ B \subset A \prime \Leftrightarrow A\cap B = \emptyset}\)
\(\displaystyle{ A \prime \subset B \Leftrightarrow A\cup B = X}\)
\(\displaystyle{ A \cap B = \emptyset \Leftrightarrow A ^\prime \cap B = X}\)

\(\displaystyle{ (A \cup B)^\prime = A^\prime \cap B^ \prime}\)
\(\displaystyle{ (A \cap B)^\prime = A^\prime \cup B^ \prime}\)
\(\displaystyle{ A - (B \cup C) = (A-B)\cap(A-C)}\)
\(\displaystyle{ A - (B \cap C) = (A-B)\cup(A-C)}\)

Uwaga: W tym kontekście warto poczynić ciekawą obserwację: suma zbiorów \(\displaystyle{ A, B}\) jest to najmniejszy podzbiór \(\displaystyle{ X}\), zawierający \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\). Podobnie - iloczyn zbiorów \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) to największy podzbiór \(\displaystyle{ X}\), zawarty w \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\), i wreszcie różnica \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) to jest największy podzbiór \(\displaystyle{ A}\), rozłączny z \(\displaystyle{ B}\).


Różnica symetryczna
Jest to bardzo ciekawa i użyteczna operacja, której określenie wygląda tak: jest to ogół tych elementów, które należą do dokładnie jednego ze zbiorów \(\displaystyle{ A, B}\). Można zapisać definicję na dwa sposoby ,oba -rzecz jasna są równoważne:. Uwaga: Operację tę -jako że jest łączna- mozna łatwo uogólniać (np. indukcyjnie ) na większą niz dwa liczbę zbiorów.

\(\displaystyle{ A \bigtriangleup B=(A-B) \cup (B-A)}\)
\(\displaystyle{ A \bigtriangleup B=(A \cup B) - (A \cap B)}\)

Ma miejsce takze ciekawy fakt: dla dowolnych zbiorów A, B istnieje dokładnie jeden zbiór C, taki że \(\displaystyle{ A \bigtriangleup C = B}\). Istotnie- wystarczy przyjąć \(\displaystyle{ C=A \bigtriangleup B}\) (jak w arytmetyce...ale nie jak w operacji "\(\displaystyle{ -}\)"), gdyż tutaj ma miejsce wzór: \(\displaystyle{ A-(A-B)=A \cap B}\). Mają miejsce takie prawa:

\(\displaystyle{ A \bigtriangleup B =\emptyset \Leftrightarrow A=B}\)
\(\displaystyle{ A \bigtriangleup B= B \bigtriangleup A}\)
\(\displaystyle{ A \cap (B \bigtriangleup C) = (A \cap B) \bigtriangleup (A \cap C)}\)
\(\displaystyle{ A \bigtriangleup \emptyset = A}\)


Dodatek
Na zakończenie tego przeglądu warto zapoznać się z ważnym pojęciem jeśli bowiem w pewnej przestrzeni \(\displaystyle{ X}\) mamy dowolny zbiór \(\displaystyle{ A}\), to wówczas możemy skojarzyć z nim funkcję charakterystyczną zdefiniowaną:

\(\displaystyle{ \chi_A (x) = \left\{\begin{array}{l}1 \ \ x \in A \\ 0 \ \ x \notin A \end{array}\right.}\)

Funkcja ta (czasem oznaczana też \(\displaystyle{ 1_A}\)) gra sporą rolę w róznych zastosowaniach -np, w topologii i innych działach, tj wtedy gdy mamy na zbiorze pewną strukturę (np. Funkcja Dirichleta). Warto zapamietać, poniższe wzory:

\(\displaystyle{ \chi_{A \cap B}= \chi_A \chi_B=\min(\chi_A, \chi_B)}\)
\(\displaystyle{ \chi_{A - B}=\chi_{A \cap B^\prime}= \chi_A \chi_{B^\prime}=\chi_A - \chi_A \chi_B}\)
\(\displaystyle{ \chi_{A \cup B}= \chi_A+ \chi_ B - \chi_A \chi_B}\)
Ostatnio zmieniony 20 lis 2006, o 22:42 przez mol_ksiazkowy, łącznie zmieniany 2 razy.
ODPOWIEDZ