Wartość oczekiwana zmiennej losowej
Poniżej postaram się sumarycznie przedstawić informacje dotyczące wartości oczekiwanej z jakimi osobiście spotkałem się czytając najróżniejsze książki do rachunku prawdopodobieństwa. Będzie to takie encyklopedyczne podejście, w którym zbiorę dostępne wiadomości o wartości oczekiwanej w jednym miejscu, jeśli ktoś poszukuje dowodów to najlepiej sięgnąć po stosowną literaturę.
\(\displaystyle{ \hline}\)
Wartość oczekiwaną możemy intuicyjnie rozumieć jako średnią wartość zmiennej losowej.
Gdyby prawdopodobieństwo interpretować jako masę rozłożoną na pewnym zbiorze to wartość oczekiwana będzie oznaczała środek masy prawdopodobieństwa.
Oznaczenia i formalne wprowadzenie wielkości, które pojawią się w dalszej części:
\(\displaystyle{ X: (\Omega, \mathcal{F}, P) \longrightarrow (R, \mathcal{B}, P^X) \hbox{ - zmienna losowa}\\ \\
P^X \hbox{ - rozkład zmiennej losowej X, miara transportowana}\\ \\
P^X(B)=PX^{-1}(B) = P(X^{-1}(B))= P(\{\omega:X(\omega) \in B\})=P(X \in B), \ \ B \in \mathcal{B}}\)
\(\displaystyle{ \hline}\)
Definicja
\(\displaystyle{ EX:=\int X(\omega)dP(\omega)}\)
Powyższy fakt można także zapisać następująco:
\(\displaystyle{ EX=\int X(\omega)dP(\omega) = \int X(\omega) P(d \omega) = \int x dF(x)}\)
Pierwsze dwie całki są to całki względem miary (tylko zapis inny) natomiast trzecia jest to całka Stieltjesa wg dystrybuanty.
Konwencja: gdy nie piszę po jakim zbiorze jest dana całka oznacza to, iż jest ona po całej przestrzeni.
\(\displaystyle{ \hline}\)
Uwagi oraz twierdzenia
Wartość oczekiwana jest to całka, zatem własności wartości oczekiwanej są to de facto własności całki.
1. Istnienie wartości oczekiwanej
\(\displaystyle{ EX \hbox{ istnieje } \ \iff \ EX^+ < \infty \ \vee \ EX^- < \infty}\)
2. Całkowalność zmiennej losowej
\(\displaystyle{ \hbox{X jest całkowalna } \iff EX^+ < \infty \wedge EX^- < \infty \iff E|X| < \infty}\)
3. Obliczanie wartości oczekiwanej dla rozkładów absolutnie ciągłych oraz dyskretnych
a) rozkład absolutnie ciągły
\(\displaystyle{ EX = \int_{\mathbb{R}}x f(x) dx}\)
b) rozkład dyskretny
\(\displaystyle{ EX = \sum_i x_i \cdot P(X=x_i)}\)
4. Obliczanie wartości oczekiwanej za pomocą dystrybuanty
a) wartość oczekiwana nieujemnej zmiennej losowej
\(\displaystyle{ Z: X \geqslant 0 \\ \\
T: EX = \int_0^{+ \infty}(1-F(t))dt}\)
b) ogólniej można napisać wzór na k-ty moment zwykły nieujemnej zmiennej losowej
\(\displaystyle{ Z: X \geqslant 0 \\ \\
T: EX^k = k \int_0^{+ \infty}t^{k-1}(1-F(t))dt}\)
5. Monotoniczność
\(\displaystyle{ Z: X \geqslant Y \hbox{ prawie wszędzie} \\ \\
T: EX \geqslant EY}\)
6. Nierówność Jensena
\(\displaystyle{ Z: \varphi \hbox{ funkcja wypukła; } X, \varphi(X) - \hbox{ całkowalne}\\ \\
T: E \varphi(X) \geqslant \varphi(EX)}\)
7. Nierówność Höldera
\(\displaystyle{ Z: p, q \geqslant 1 \ \ \ \wedge \ \ \ \frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1\\ \\
T: E|XY| \leqslant \left( E|X|^p \right)^{\frac{1}{p}} \cdot \left( E|Y|^q \right)^{\frac{1}{q}}}\)
8. Nierówność Cauchy'ego - Schwarza
\(\displaystyle{ Z: p=q=2\\ \\
T: E|XY| \leqslant \sqrt{ E|X|^2 \cdot E|Y|^2}}\)
9. Lemat Fatou
\(\displaystyle{ Z: (X_n) \hbox{ - ciąg nieujemnych zmiennych losowych} \\ \\
T: E \left(\liminf_{n \to \infty} X_n \right) \leqslant \liminf_{n \to \infty} EX_n}\)
10. Twierdzenie Lebesgue'a o zbieżności monotonicznej
\(\displaystyle{ Z: (X_n) \hbox{ - niemalejący ciąg nieujemnych zmiennych losowych} \\ \\
T: E \left(\lim_{n \to \infty} X_n \right) = \lim_{n \to \infty} EX_n}\)
11. Twierdzenie Lebesgue'a o zbieżności zmajoryzowanej
\(\displaystyle{ Z: (X_n) \hbox{ ciąg takich zmiennych losowych, \.{z}e } |X_n| \leqslant Z \hbox{ dla pewnej ca\l kowalnej zmiennej losowej } Z \\ \\
T: E \left(\lim_{n \to + \infty} X_n \right) = \lim_{n \to \infty} EX_n}\)
\(\displaystyle{ \hline}\)