Rozkład wykładniczy
\(\displaystyle{ X \sim Exp(\lambda)}\)
\(\displaystyle{ \lambda > 0 \hbox{ - parametr skali}}\)
I Podstawowe informacje
1. Gęstość prawdopodobieństwa
\(\displaystyle{ f(x) = \lambda e^{-\lambda x} \cdot 1_{[0, \infty)}(x)}\)
2. Dystrybuanta
\(\displaystyle{ F(x) = \begin{cases} 0 &\text{dla } x \in (-\infty,0) \\ 1 - e^{-\lambda x} &\text{dla } x \in [0,\infty) \end{cases}}\)
3. Wartość oczekiwana
\(\displaystyle{ EX= \frac{1}{ \lambda}}\)
Dowód:
4. Wariancja
\(\displaystyle{ Var(X)= \frac{1}{ \lambda^2}}\)
Dowód:
5. Funkcja charakterystyczna
\(\displaystyle{ \varphi(t)= \frac{ \lambda}{ \lambda-it}}\)
Dowód:
II Uwagi
1. Często spotykana jest odwrotna parametryzacja, tzn.:
\(\displaystyle{ [0, \infty) \ni \frac{1}{ \beta} = \lambda \in [0, \infty)}\)
Wtedy w każdym z powyższych wzorów należy zamiast parametru wstawić jego odwrotność, np. gęstość będzie wyglądała następująco:
\(\displaystyle{ f(x) = \frac{1}{ \beta} \exp \left \{- \frac{x}{ \beta} \right \} \cdot 1_{[0, \infty)}(x)}\)
2. Rozkład wykładniczy jest ciągłym odpowiednikiem rozkładu geometrycznego i podobnie jak on posiada własność braku pamięci.
Własność ta oznacza, iż:
\(\displaystyle{ P(X > x+y|X>x) = P(X>y)}\)