1.1 Definicje
- \(\displaystyle{ \diamond}\) Trójkątem nazywamy figurę płaską będącą wielokątem o trzech bokach. Jeden z boków trójkąta jest nazywany podstawą.
\(\displaystyle{ \star}\) Istnieje wiele innych równoważnych definicji trójkąta dostosowanych do potrzeb i umiejętności zrozumienia. Przykłady:- \(\displaystyle{ \ast}\) Trójkątem nazywamy część wspólną trzech półpłaszczyzn, których brzegi zawierają w sobie odpowiednie boki trójkąta gdzie wierzchołek nie należący do brzegu leży na półpłaszczyźnie.
\(\displaystyle{ \ast}\) Trójkąt to część płaszczyzny ograniczona przez odcinki łączące trzy niewspółliniowe punkty.
\(\displaystyle{ \diamond}\) Wysokością trójkąta nazywamy odcinek wychodzący z jednego z wierzchołków trójkąta i opadający na przeciwległą podstawę (lub jej przedłużenie). Wysokość jest zawsze prostopadła do podstawy. Każdy trójkąt posiada 3 wysokości niekoniecznie różne i niekoniecznie zawierające się w tym trójkącie (np. w trójkącie rozwartokątnym).
\(\displaystyle{ \diamond}\) Ortocentrum to punkt przecięcia się wysokości trójkąta.
\(\displaystyle{ \diamond}\) Środkową boku trójkąta nazywamy odcinek łączący środek boku trójkąta z wierzchołkiem trójkąta nie należącym do tego boku. Każdy trójkąt posiada trzy środkowe.
\(\displaystyle{ \diamond}\) Barycentrum (środek ciężkości) to punkt przecięcia się środkowych trójkąta.
\(\displaystyle{ \diamond}\) Symetralną boku trójkąta nazywamy prostą prostopadłą przechodzącą przez środek boku trójkąta. Każdy trójkąt ma trzy symetralne.
\(\displaystyle{ \diamond}\) Okręgiem wpisanym w trójkąt nazywamy okrąg, styczny wewnętrznie do wszystkich boków trójkąta. Środkiem okręgu wpisanego jest punkt przecięcia się dwusiecznych trójkąta.
\(\displaystyle{ \diamond}\) Okręgiem opisanym na trójkącie nazywamy okrąg, który zawiera wszystkie wierzchołki trójkąta. Środkiem okręgu opisanego na trójkącie jest punkt przecięcia się symetralnych boków trójkąta.
\(\displaystyle{ \diamond}\) Prostą poprzeczną trójkąta nazywamy prostą przecinającą każdy z boków trójkąta (lub jego przedłużenie), która nie zawiera w sobie żadnego z wierzchołków tego trójkąta.
\(\displaystyle{ \diamond}\) Symedianą trójkąta nazywamy prostą będącą obrazem symetrycznym środkowej względem dwusiecznej kąta wewnętrznego.
\(\displaystyle{ \diamond}\) Punktem Lemoine'a nazywamy punkt przecięcia się wszystkich symedian trójkąta.
\(\displaystyle{ \diamond}\) Punktem Gergonne'a nazywamy punkt przecięcia się prostych łączących wierzchołki trójkąta z punktami styczności przeciwległych boków do okręgu wpisanego w ten trójkąt.
\(\displaystyle{ \diamond}\) Punktem Fermata nazywamy punkt, którego suma odległości od boków trójkąta jest najmniejsza z możliwych. - \(\displaystyle{ \ast}\) Trójkątem nazywamy część wspólną trzech półpłaszczyzn, których brzegi zawierają w sobie odpowiednie boki trójkąta gdzie wierzchołek nie należący do brzegu leży na półpłaszczyźnie.
- 1.2 a) ze względu na długości boków
- \(\displaystyle{ \diamond}\) różnoboczne - trójkąty, w których boki są różnej długości.
\(\displaystyle{ \diamond}\) równoramienne - trójkąty, w których co najmniej dwa boki są równej długości.
\(\displaystyle{ \diamond}\) równoboczne - trójkąty, w których wszystkie boki są równej długości. W szczególności trójkąty równoboczne są trójkątami równoramiennymi.
- \(\displaystyle{ \diamond}\) ostrokątne - trójkąty, w których miary wszystkich kątów wewnętrznych są mniejsze od 90o.
\(\displaystyle{ \diamond}\) prostokątne - trójkąty, w których jeden z kątów wewnętrznych jest prosty.
\(\displaystyle{ \diamond}\) rozwartokątne - trójkąty, w których jeden z kątów wewnętrznych ma miarę większą niż 90o.
- \(\displaystyle{ \diamond}\) różnoboczne - trójkąty, w których boki są różnej długości.
2.1 Przystawanie trójkątów
- Dwa trójkąty są przystające wtedy, gdy istnieje izometria przekształcająca jeden z nich na drugi (izometria to przekształcenie płaszczyzny zachowujące odległość punktów).
Cechy przystawania trójkątów- \(\displaystyle{ \diamond}\) (bbb) - (bok, bok, bok) dwa trójkąty są przystające jeśli boki jednego trójkąta są równe odpowiednim bokom drugiego trójkąta
\(\displaystyle{ \diamond}\) (bkb) - (bok, kąt, bok) dwa trójkąty są przystające jeśli dwa boki i kąt zawarty między nimi jednego trójkąta są równe odpowiednim bokom i kątowi zawartemu między nimi drugiego trójkąta
\(\displaystyle{ \diamond}\) (kbk) - (kąt, bok, kąt) dwa trójkąty są przystające jeśli bok i kąty do niego przyległe jednego trójkąta są równe odpowiedniemu bokowi i kątami do niego przyległymi drugiego trójkąta
- \(\displaystyle{ \diamond}\) (bbb) - (bok, bok, bok) dwa trójkąty są przystające jeśli boki jednego trójkąta są równe odpowiednim bokom drugiego trójkąta
- Dwa trójkąty są podobne wtedy, gdy istnieje podobieństwo przekształcające jeden z nich na drugi (podobieństwem w skali k nazywamy przekształcenie płaszczyzny zmieniające odległość każdych dwóch punktów w stosunku k).
Cechy podobieństwa trójkątów- \(\displaystyle{ \diamond}\) (bbb) - (bok, bok, bok) dwa trójkąty są podobne jeśli wszystkie boki pierwszego trójkąta są proporcjonalne do odpowiednich boków drugiego trójkąta
\(\displaystyle{ \diamond}\) (kkk) - (kąt, kąt, kąt) dwa trójkąty są podobne jeśli miary kątów jednego trójkąta są równe odpowiednim miarom kątów drugiego trójkąta
\(\displaystyle{ \diamond}\) (bkb) - (bok, kąt, bok) dwa trójkąty są podobne jeśli długości dwóch boków jednego trójkąta są proporcjonalne do odpowiednich długości boków drugiego trójkąta oraz kąty zawarte między tymi bokami mają równe miary.
W trójkącie prostokątnym wysokość poprowadzona z wierzchołka kąta prostego dzieli ten trójkąt na dwa trójkąty podobne do siebie i do trójkąta prostokątnego. Długość wysokości tego trójkąta jest średnią geometryczną długości odcinków na które dzieli wysokość przeciwprostokątną.
Wysokość tą wyraża się wzorem: \(\displaystyle{ h=\sqrt{x\cdot y}}\), gdzie x, y są odcinkami na jakie podzieliła wysokość przeciwprostokątną. - \(\displaystyle{ \diamond}\) (bbb) - (bok, bok, bok) dwa trójkąty są podobne jeśli wszystkie boki pierwszego trójkąta są proporcjonalne do odpowiednich boków drugiego trójkąta
- Dla każdego trójkąta o bokach długości a, b, c zachodzą nierówności:
\(\displaystyle{ a+b> c,\,\,\, a+c> b,\,\,\, b+c> a}\)\(\displaystyle{ \star}\) to, czy nierówności są mocne, czy słabe zależy od przyjętej definicji trójkąta
Dla dowolnego trójkąta przyjmijmy następujące oznaczenia:
\(\displaystyle{ \star}\) AB=c, BC= a, AC=b
\(\displaystyle{ \star}\) ha, hb, hc - wysokości trójkąta o spodkach odpowiednio w bokach a, b, c.
\(\displaystyle{ \star \,\,\alpha, \beta, \gamma}\) miary kątów leżących odpowiednio na przeciwko boków a, b, c
\(\displaystyle{ \star}\) p połowa obwodu trójkąta
\(\displaystyle{ \star}\) R promień okręgu opisanego na trójkącie
\(\displaystyle{ \star}\) r promień okręgu wpisanego w trójkąt
3.1 a) Twierdzenie Pitagorasa
- Niech ABC będzie dowolnym trójkątem prostokątnym o kącie prostym przy wierzchołku A. Zachodzi następująca równość: \(\displaystyle{ AB^2 + AC^2 = BC^2}\).
- Dowód: Niech A' będzie spodkiem wysokości trójkąta prostokątnego ABC o kącie prostym w wierzchołku A wychodzącej z wierzchołka A. Korzystając z cechy podobieństwa kkk oraz przechodniości otrzymujemy podobieństwo następujących trójkątów: AA'C, AA'B, ABC. Korzystając z podobieństwa otrzymujemy następujące proporcje: \(\displaystyle{ \frac{A'B}{AB}=\frac{AB}{BC}\,\,i\,\,\frac{A'C}{AC}=\frac{AC}{BC}}\) zatem \(\displaystyle{ AB^2=BC\cdot A'B,\,i\,\,AC^2=BC\cdot A'C}\). Po zsumowaniu równości otrzymujemy: \(\displaystyle{ AB^2+AC^2=BC\cdot (A'B+A'C) = BC^2}\). C.N.D
- Niech ABC będzie dowolnym trójkątem. Jeśli zachodzi równość \(\displaystyle{ a^2+b^2=c^2}\) to trójkąt ten jest prostokątny.
- Dowód: [niebawem]
- Niech ABC będzie dowolnym trójkątem. Zachodzą następujące tożsamości:
\(\displaystyle{ \frac{a}{\sin{\alpha}}=\frac{b}{\sin{\beta}}=\frac{c}{\sin{\gamma}}=2R}\)- Dowód: [niebawem]
- Niech ABC będzie dowolnym trójkątem. Zachodzą następujące równości:
\(\displaystyle{ a^2=b^2+c^2-2bc\cdot \cos{\alpha}\\ b^2=a^2+c^2-2ac\cdot \cos{\beta}\\ c^2=a^2+b^2-2ab\cdot \cos{\gamma}}\)- Dowód: [niebawem]
- Niech ABC będzie dowolnym trójkątem. Niech prosta poprzeczna przecina boki AB i BC oraz przedłużenie boku AC odpowiednio w punktach D, E, F. Zachodzi następująca równość:
\(\displaystyle{ \frac{AD}{DB}\cdot \frac{DE}{EC}\cdot \frac{CF}{FA}=1}\)- Dowód: [niebawem]
- Niech ABC będzie dowolnym trójkątem. Jeżeli trzy proste przechodzące przez wierzchołki trójkąta przecinające boki AB, BC, AC odpowiednio w punktach D, E, F przecinają się w jednym punkcie, to zachodzi następująca równość:
\(\displaystyle{ \frac{AD}{DB}\cdot \frac{BE}{EC}\cdot \frac{CF}{FA}=1}\)- Dowód: [niebawem]
Przyjmijmy oznaczenia takie jak w punkcie 3.
4.1 Wzory na pole trójkąta
- \(\displaystyle{ P=\frac{1}{2}h_a\cdot a=\frac{1}{2}h_b\cdot b=\frac{1}{2}h_c\cdot c}\)
- Wyprowadzenie: Wystarczy zauważyć, że pole trójkąta jest równe połowie pola prostokąta o bokach równych wysokości trójkąta i boku na którą ta wysokość opada.
- Wyprowadzenie: [Niebawem]
- Wyprowadzenie: [Niebawem]
- Wyprowadzenie: [Niebawem]
- Wyprowadzenie: [Niebawem]
- Wyprowadzenie: [Niebawem]
- Wyprowadzenie: [Niebawem]
- Wyprowadzenie: [Niebawem]
\(\displaystyle{ P=\frac{a^2\cdot \sqrt{3}}{4}}\)- Wyprowadzenie: [Niebawem]
- Tożsamości
- \(\displaystyle{ \sin{\alpha}+\sin{\beta}+\sin{\gamma}=4\cdot\cos{\frac{\alpha}{2}}\cdot \cos{\frac{\beta}{2}}\cdot \cos{\frac{\gamma}{2}}}\)
- Dowód: [Niebawem]
- Dowód: [Niebawem]
- Dowód: [Niebawem]
- \(\displaystyle{ \frac{a+b}{c}=\frac{\cos \frac{\alpha - \beta}{2}}{\sin \frac{\gamma}{2}}\\\frac{a+c}{b}=\frac{\cos \frac{\alpha - \gamma}{2}}{\sin \frac{\beta}{2}}\\\frac{b+c}{a}=\frac{\cos \frac{\beta - \gamma}{2}}{\sin \frac{\alpha}{2}}\\\frac{a-b}{c}=\frac{\sin \frac{\alpha - \beta}{2}}{\cos \frac{\gamma}{2}}\\\frac{a-c}{b}=\frac{\sin \frac{\alpha - \gamma}{2}}{\cos \frac{\beta}{2}}\\\frac{b-c}{a}=\frac{\sin \frac{\beta- \gamma}{2}}{\cos \frac{\alpha}{2}}\\\frac{a+b}{a-b}=\frac{\tan \frac{\alpha + \beta}{2}}{\tan \frac{\alpha - \beta}{2}}\\\frac{a+c}{a-c}=\frac{\tan \frac{\alpha + \gamma}{2}}{\tan \frac{\alpha - \gamma}{2}}\\\frac{b+c}{b-c}=\frac{\tan \frac{\beta+ \gamma}{2}}{\tan \frac{\beta- \gamma}{2}}}\)
- \(\displaystyle{ \tan \alpha = \frac{a \cdot \sin \gamma}{b - a\cdot \cos \gamma} = \frac{a\cdot \sin \beta}{c - a\cdot \cos \beta}}\)
- \(\displaystyle{ \sin \frac{ \alpha}{2}= \sqrt{\frac{(p-b)(p-c)}{bc}}\\\cos \frac{ \alpha}{2}= \sqrt{\frac{p(p-a)}{bc}}\\\tg \frac{ \alpha}{2}= \sqrt{\frac{(p-b)(p-c)}{p(p-a)}}}\)
- \(\displaystyle{ \sin{\alpha}+\sin{\beta}+\sin{\gamma}=4\cdot\cos{\frac{\alpha}{2}}\cdot \cos{\frac{\beta}{2}}\cdot \cos{\frac{\gamma}{2}}}\)
- Nierówność Erdosa
- Rozpatrzmy trójkąt ABC. Obierzmy w nim dowolny punkt O. Przez x, y, z oznaczmy odległości punktu O odpowiednio od wierzchołków A, B, C, zaś przez p, q, r odległegłości punktu O odpowiednio od prostych BC, CA, AB. Zachodzi następująca nierówność:
\(\displaystyle{ x+y+z\geq 2(p+q+r)}\)- Dowód: [Niebawem]
- Rozpatrzmy trójkąt ABC. Obierzmy w nim dowolny punkt O. Przez x, y, z oznaczmy odległości punktu O odpowiednio od wierzchołków A, B, C, zaś przez p, q, r odległegłości punktu O odpowiednio od prostych BC, CA, AB. Zachodzi następująca nierówność:
- Wysokości w trójkącie
- Dotyczy dowolnego trójkąta
\(\displaystyle{ h=\frac{ab\sin{\alpha}}{c}}\)
Dotyczy trójkąta równobocznego.
\(\displaystyle{ h=\frac{a\sqrt{3}}{2}}\)
- Dotyczy dowolnego trójkąta
\(\displaystyle{ r= \sqrt {\frac{ (p-a)(p-b)(p-c)}{p}}\\r=(p-a)\tan{\frac{\alpha}{2}}\\r=(\frac{1}{h_a}+\frac{1}{h_b}+\frac{1}{h_c})^{-1}}\)
Dotyczy trójkąta równobocznego.
\(\displaystyle{ r=\frac{a\sqrt{3}}{6}}\)
- Dotyczy dowolnego trójkąta
\(\displaystyle{ R= \frac{ abc}{4 \sqrt{ p(p-a)(p-b)(p-c)}}}\)
Dotyczy trójkąta równobocznego.
\(\displaystyle{ R=\frac{a\sqrt{3}}{3}}\)
- \(\displaystyle{ m^{2}_{a}=\frac{2b^{2}+2c^{2}-a^{2}}{4}\\m^{2}_{b}=\frac{2c^{2}+2a^{2}-b^{2}}{4}\\m^{2}_{c}=\frac{2a^{2}+2b^{2}-c^{2}}{4}}\)
- Dotyczy dowolnego trójkąta