Matematyka.pl

Jest wiele znanych nierozwiązanych problemów matematycznych, z których kilka mimo bardzo prostego sformułowania nie została do dziś udowodniona. W tym temacie chciałbym zebrać co ciekawsze z nich, zarówno te znane, jak i mniej popularne. Wszelkie uwagi oraz uzupełnienia proszę przesyłać na pw.

1. Wpisany kwadrat
Czy na każdej zamkniętej krzywej można znaleźć wierzchołki pewnego kwadratu? http://en.wikipedia.org/wiki/Inscribed_square_problem

2. Kwadrat z liczbami pierwszymi
Do kwadratu \(\displaystyle{ p \times p}\) (gdzie \(\displaystyle{ p}\) jest liczbą pierwszą) wpisujemy po kolei dodatnie liczby całkowite. Czy zawsze w każdej kolumnie i każdym wierszu będzie co najmniej jedna liczba pierwsza?
\(\displaystyle{ \begin{tabular}{|c|c|}
\hline 1 & \red{2} \\ \hline
\red{3} & 4 \\ \hline \end{tabular} \qquad
\begin{tabular}{|c|c|c|}
\hline 1 & \red{2} & \red{3} \\ \hline
4 & \red{5} & 6 \\ \hline
\red{7} & 8 & 9 \\ \hline \end{tabular} \qquad
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}
\hline 1 & \red{2} & \red{3} & 4 & \red{5} \\ \hline
6 & \red{7} & 8 & 9 & 10 \\ \hline
\red{11} & 12 & \red{13} & 14 & 15 \\ \hline
16 & \red{17} & 18 & \red{19} & 20 \\ \hline
21 & 22 & \red{23} & 24 & 25 \\ \hline \end{tabular}}\)

3. Hipoteza Goldbacha
Czy każda parzysta liczba naturalna większa od 2 jest sumą dwóch liczb pierwszych?
Chyba jedna z najbardziej znanych hipotez. Mimo braku dowodu (albo obalenia) z powodzeniem znajduje zastosowanie, między innymi w kryptografii.
http://pl.wikipedia.org/wiki/Hipoteza_Goldbacha

4. Problem Collatza / problem Ulama
Wybierz dowolną liczbę całkowitą dodatnią \(\displaystyle{ c_0}\). Jeśli jest parzysta, podziel ją przez 2. Jeśli nieparzysta, pomnóż przez 3 i dodaj 1. Z tak otrzymaną liczbą powtórz powyższy algorytm.
\(\displaystyle{ c_{n+1} = \begin{cases} \frac{c_n}{2} &\text{gdy }c_n \text{ jest parzyste} \\ 3c_n+1 &\text{gdy } c_n \text{ jest nieparzyste} \end{cases}}\)
Czy zawsze algorytm skończy się na liczbie 1?
To mówiąc o tym zagadnieniu Paul Erdős wypowiedział słynne zdanie "matematyka nie jest jeszcze gotowa na takie problemy".
http://pl.wikipedia.org/wiki/Problem_Collatza

5. Oświetlanie wielokąta
Niech będzie dany dowolny wielokąt prosty, którego wewnętrzne boki odbijają światło, oraz źródło światła wewnątrz wielokąta. Czy istnieje punkt, który nie będzie oświetlony?
Lub nieco prostsza wersja - czy dla każdego wielokąta prostego można znaleźć punkt wewnątrz niego, który oświetli cały wielokąt? 6. Doskonała cegiełka Eulera / prostopadłościan doskonały
Czy istnieje prostopadłościan, którego boki oraz wszystkie przekątne są liczbami całkowitymi?
http://mathworld.wolfram.com/PerfectCuboid.html

7. Podział prostokąta
Czy można podzielić prostokąt na 5, 7 lub 9 przystających części, które nie są prostokątami?
Dla parzystego podziału problem jest trywialny. Dla nieparzystego podziału udowodniono, że nie da się dla 3 części oraz da się dla 11 i więcej - tylko te trzy są nierozwiązane.
http://mathoverflow.net/questions/11753/cutting-a-rectangle-into-an-odd-number-of-congruent-pieces

8. Odległości między punktami
Ułóż \(\displaystyle{ n}\) punktów na płaszczyźnie w taki sposób, aby było między nimi \(\displaystyle{ n-1}\) różnych odległości oraz aby jedna z nich wystąpiła jeden raz, kolejna dwa razy itd. aż do odległości \(\displaystyle{ n-1}\), która wystąpi \(\displaystyle{ n-1}\) razy.
Znane jest rozwiązanie dla \(\displaystyle{ n \le 8}\). Jeśli uda się udowodnić istnienie takiego ułożenia dla dowolnego \(\displaystyle{ n}\), Paul Erdős wyznaczył nagrodę 500$. Jeśli wykaże się, że takie ułożenie nie jest możliwe, nagroda wynosi 50$

9. Trójkąty Kobona
Ile maksymalnie trójkątów może powstać na płaszczyźnie przy przecięciu \(\displaystyle{ n}\) prostych?
Nieznane jest optymalne rozwiązanie już dla \(\displaystyle{ n=10}\).
http://en.wikipedia.org/wiki/Kobon_triangle_problem

10. Liczby Lychrela
Wybierz dowolną liczbę naturalną i dodaj do niej liczbę, która powstaje z przeciwnego zapisania jej cyfr (np. do 123 dodajemy 321). Czy powtarzając tę operację zawsze uzyskamy (w pewnym momencie) liczbę palindromiczną?
Problem jest otwarty dla systemu dziesiętnego. Najmniejszą podejrzaną liczbą, dla której to nie zachodzi, jest 196.
http://en.wikipedia.org/wiki/Lychrel_number

11. Hipoteza liczb pierwszych bliźniaczych
Liczby pierwsze bliźniacze to takie liczby pierwsze, których różnica wynosi 2. Czy takich liczb jest nieskończenie wiele?
I ogólnie - czy jest nieskończenie wiele liczb pierwszych, których różnica wynosi \(\displaystyle{ 2k}\)?
http://pl.wikipedia.org/wiki/Hipoteza_liczb_pierwszych_bli%C5%BAniaczych
(zaproponował Lorek)

12. Stała Eulera
Czy stała Eulera jest liczbą wymierną?
Stała Eulera (Eulera-Mascheroniego) oznaczona grecką literą \(\displaystyle{ \gamma}\) jest granicą ciągu:\(\displaystyle{ \gamma=\lim_{n\to\infty}\left(\sum_{k=1}^n\frac{1}{k}-\ln n\right)}\). Nie wiadomo, czy jest liczbą wymierną.
http://pl.wikipedia.org/wiki/Sta%C5%82a_Eulera
(zaproponował Lorek)

13. Problem znalezienia najdłuższej zwyczajnej ścieżki skoczka na szachownicy \(\displaystyle{ n \times n}\)
Ścieżka zwyczajna to taka, która nie zawiera samoprzecięć. Jaka jest najdłuższa możliwa do zrealizowania ścieżka (zamknięta lub otwarta) na określonej szachownicy?

Najdłuższe otwarte ścieżki są znane tylko dla \(\displaystyle{ n \leq 9}\) i ich długości wynosza odpowiednio \(\displaystyle{ 0, 0, 2, 5, 10, 17, 24, 35, 47}\).
Najdłuższe zamknięte ścieżki są znane tylko dla \(\displaystyle{ n \leq 10}\) i ich długość wynoszą odpowiednio \(\displaystyle{ 0, 0, 0, 4, 8, 12, 24, 32, 42, 54}\).
W szczególności gdy \(\displaystyle{ n=8}\) i ścieżka nie musi być zamknięta, to maksymalna jej długość wynosi \(\displaystyle{ 35}\) (diagram lewy); dla ścieżki zamkniętej długość ta jest równa \(\displaystyle{ 32}\) (diagram prawy).
http://en.wikipedia.org/wiki/Longest_uncrossed_knight%27s_path
(zaproponował mol_ksiazkowy)

14. Hipoteza Erdősa–Strausa
Dla dowolnej liczby całkowitej dodatniej \(\displaystyle{ n > 4}\) istnieją liczby całkowite dodatnie \(\displaystyle{ a, b, c}\) takie że:
\(\displaystyle{ \frac{4}{n}= \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}}\)
Czy istnieje liczba, której nie da się tak przedstawić?
np. dla \(\displaystyle{ n=9}\) zachodzi \(\displaystyle{ \frac{4}{9}= \frac{1}{4} + \frac{1}{6}+ \frac{1}{36}}\)
(zaproponował mol_ksiazkowy)

15. Hipoteza Leona Jeśmanowicza
Niech \(\displaystyle{ a, b, c}\) będzie trójką pitagorejską, tj. trójką liczb naturalnych: \(\displaystyle{ a^2+b^2=c^2}\). Wtedy równanie \(\displaystyle{ a^x+b^y=c^z}\) o niewiadomych \(\displaystyle{ x, y, z}\) nie ma innych rozwiązań niż \(\displaystyle{ (x, y, z)=(2,2,2)}\).
Hipoteza postawiona w latach 50-tych nie została do dziś rozstrzygnięta.
źródło W. Bednarek, szkice o liczbach, funkcjach i figurach
(zaproponował mol_ksiazkowy)

16. Podział kwadratu na kwadraty
Każdy kwadrat o boku \(\displaystyle{ n \ge 22}\) można rozłożyć na mniejsze kwadraty o boku całkowitym w taki sposób, aby żaden z nich nie powtarzał się więcej niż dwa razy?
Czy istnieje kwadrat, którego w ten sposób rozłożyć się nie da ?
Poniżej przykład gdy \(\displaystyle{ n=22}\).

https://www.slideserve.com/matsu/two-dozen-unsolved-problems-in-plane-geometry-powerpoint-ppt-presentation
(zaproponował mol_ksiazkowy)

Z teorii liczb

Hipoteza Duro Kurepy

Niech \(\displaystyle{ !n = 0!+ 1!+…(n-1)!}\) dla \(\displaystyle{ n=2,3,4,… }\), Liczby \(\displaystyle{ !n}\) i \(\displaystyle{ n!}\) są prawie względnie pierwsze, tj. nie mają wspólnego dzielnika pierwszego \(\displaystyle{ p>2}\).

Hipoteza Brocarda
Jesli \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) są liczbami naturalnymi i \(\displaystyle{ a!+1=b^2}\), to \(\displaystyle{ a \in \{4, 5, 7 \} }\)

Problem Collatza / problem Ulama / problem Syrakuz / Problem \(\displaystyle{ 3x+1}\)
i Syracuze function;

Funkcja \(\displaystyle{ Syr(n)}\) jest liczbą iteracji funkcji \(\displaystyle{ f }\) (pierwszym jej argumentem jest \(\displaystyle{ n}\)), które dają jedynkę. Nie są znane niektóre z własności tej funkcji np. kiedy \(\displaystyle{ Syr(n+1)= Syr(n)}\) ?

\(\displaystyle{ f(x) = \begin{cases} 3x+1 &\text{gdy }2\nmid x \\ \frac{x}{2} &\text{gdy }2\mid x \\ stop &\text{gdy }x=1 \end{cases}}\)

Hipoteza Grimma
Jedna z hipotez o liczbach pierwszych: Dla każdego ciągu kolejnych liczb złożonych istnieje przyporządkowanie każdej z nich ich różnego (innego) dzielnika pierwszego, jak np.

\(\displaystyle{ \color{black}{24} , \color{red}{2}, \ \ \color{black}{25}, \color{red}{5}, \ \ \color{black}{26}, \color{red}{13}, \ \ \color{black}{27}, \color{red}{3}, \ \ \color{black}{28}, \color{red}{7}. }\)

Hipoteza abc
Jeśli \(\displaystyle{ \epsilon >0}\), to istnieje stała \(\displaystyle{ M= M(\epsilon)}\) taka, że dla dla każdej trójki liczb całkowitych dodatnich i względnie pierwszych ze sobą i takich, że \(\displaystyle{ a+b=c}\) :
\(\displaystyle{ c \le M \Biggl( \prod_{p |abc} p \Biggr)^{1+ \epsilon}.}\)



Hipotezy geometryczne

Układy punktów (całkowite odległości)
Jaki jest maksymalny skończony zbiór punktów takich, że wszystkie odległości między nimi są całkowite ?

Problem Leo Mosera
Znaleźć obszar o najmniejszym polu, w którym można umieścić każdą płaską krzywą o długości 1.

Hipoteza Pólya - Szegő
Hipoteza istnienia optymalnego sposobu pokrycia płaszczyzny wzorem różnych kształtów, szczególnie wielokątów. Czy istnieje pełne pokrycie płaszczyzny dla dowolnego kształtu wielokątnego ? I jak je konstruować ?

Hipoteza pakowania Ulama:
Optymalna gęstość upakowania przystających sfer jest mniejsza niż gęstość upakowania dowolnego innego ciała wypukłego, tj. kula jest bryłą wypukłą, która wymusza największą część przestrzeni do pozostania pustą w swojej optymalnej strukturze upakowania.

Hipoteza Erdösa o sumie
Hipoteza o istnieniu zbiorów nieskończonych o unikalnej sumie każdych dwóch jego elementów.


Gry

Wieża Hanoi
Jest to gra logiczna, w której jest \(\displaystyle{ n}\) dysków różnej wielkości oraz trzy słupki. Celem jest przeniesienie całej wieży z jednego słupka na inny, przy zachowaniu zasady, że nie można umieścić większego dysku na mniejszym. Problem polega na znalezieniu najmniejszej liczby ruchów potrzebnych do przeniesienia \(\displaystyle{ n}\) dysków.
Zadanie rozwiązane częściowo…

Skaczące żaby (Schur's Frogs)
To model, w którym żaby przeskakują się nad sobą (symetria środkowa)
Problem: Czy z dowolnej początkowej konfiguracji można dojść do określonego układu docelowego, I jaka jest minimalna liczba ruchów aby to można było zrealizować ?


Inne


Problem Lanforda
Kiedy liczby od \(\displaystyle{ 1 }\) do \(\displaystyle{ 2n}\) można ustawić w taki sposób, że każda liczba \(\displaystyle{ k}\) jest dokładnie w odległości \(\displaystyle{ k }\) od drugiej liczby \(\displaystyle{ k}\) w tym ciągu ?
np. \(\displaystyle{ 1, 1, 3, 4, 2, 3, 2, 4}\).
Dla niektórych wartości \(\displaystyle{ n}\) takie ustawienie nie istnieje…

Kwadraty magiczne
Mimo istnienia różnych metod ich budowy, nie ma określonych sposobów dla budowy, jeśli mają one mieć dodatkowe I założone z góry własności.

Hipoteza Beala
Jeśli \(\displaystyle{ A, B, C}\) oraz \(\displaystyle{ x, y, z}\) są liczbami całkowitymi dodatnimi i \(\displaystyle{ x,y,z \ge 3 }\) oraz \(\displaystyle{ A^x+B^y=C^z,}\) to \(\displaystyle{ A, B, C}\) mają wspólny dzielnik pierwszy.



Problemy obliczeniowe
Problem mrówek:
Na patyku są ustawione mrówki, znane jest ich początkowe położenie, ale nie jest wiadome, w którą stronę są obrócone. Mrówki poruszają się ze stałą prędkością. Gdy dwie mrówki zderzą się ze sobą, to obie zawracają. Gdy jakaś mrówka dojdzie do końca patyka, to spada. Jaki jest minimalny oraz maksymalny czas do momentu, gdy wszystkie spadną ?


Przykład
Kiedy, i jak można wyznaczać kolejna wyrazów ciągów określonych w sposób opisowy (niejawny).
Wyrazy tego ciągu (Recamána) są takie: jeśli \(\displaystyle{ a_{n-1}-n}\) jest liczbą dodatnią i nie jest wartość żadnego poprzedniego wyrazu ciągu to jest to kolejny wyraz ciągu; w przeciwnym razie \(\displaystyle{ a_n = a_{n-1}+n }\).

rys Problem 8 (lista scytha) dla \(\displaystyle{ n=5}\).

rys.
Układy punktów (całkowite odległości)

Źródła

Teoria liczb

1. Czy istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych postaci \(\displaystyle{ n^{2} + 1 }\)?
2. Czy istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych postaci \(\displaystyle{ p_{1} \cdot\ldots\cdot p_{n} + 1 }\), gdzie \(\displaystyle{ p_{k}}\) jest \(\displaystyle{ k}\)-tą liczbą pierwszą?

Hipoteza W. Sierpińskiego
Jeśli liczby \(\displaystyle{ 1, ..., n^2}\) ustawić w macierzy \(\displaystyle{ n \times n }\), tj. kolejno i rosnąco w wierszach
(w \(\displaystyle{ j}\) tym wierszu liczby \(\displaystyle{ (j-1)n +1, ...., jn}\)) dla \(\displaystyle{ j=1, ..., n }\),
to w każdym wierszu jest co najmniej jedna liczba pierwsza (tak jest np. w drugim wierszu- twierdzenie Czebyszewa).


Hipoteza \(\displaystyle{ m^2+k}\)
Jeśli \(\displaystyle{ k}\) jest liczbą całkowitą i \(\displaystyle{ -k}\) nie jest kwadratem liczby całkowitej, to dla nieskończenie wielu liczb naturalnych \(\displaystyle{ m}\), liczba \(\displaystyle{ m^2+k}\) jest pierwsza.


Hipoteza o ciągach
Dla każdej liczby całkowitej \(\displaystyle{ m \ge 1}\) istnieje nieskończona ilość ciągów arytmetycznych, w których jest \(\displaystyle{ m}\) liczb pierwszych Zofii Germain.