Chciałem zająć się w tym temacie macierzą zero-jedynkową, na którą działa grupa permutacji wierszy i kolumn. Będziemy liczyć, ile jest niezależnych ze względu na działanie grupy ustawień zer i jedynek w macierzy.
Celem tego wykładu jest przede wszystkim pokazanie jak wygląda mnożenie kartezjańskie cykli,
chcę pokazać jak wygląda grupa permutacji i jak liczymy liczbę niezależnych macierzy ze względu na permutacje.
Bierzemy dowolną macierz binarną, i przestawiamy w niej wiersze i kolumny (działamy na nią grupą permutacji wierszy i kolumn).
Pokażemy jeszcze, jak mnoży się indeksy cyklowe za pomocą iloczynu kartezjańskiego, podam wzór.
Grupa permutacji jako taka jest iloczynem kartezjańskim grupy permutacji wierszy i grupy permutacji kolumn. Policzymy i wypiszemy jej elementy.
\(\displaystyle{ G=S_{n} \times S_{m}}\)
\(\displaystyle{ n}\) - liczba wierszy, \(\displaystyle{ m}\) - liczba kolumn.
\(\displaystyle{ |G|=n! \cdot m!}\)
Żeby uprościć rozważania odwołamy się do konkretnego przykładu.
Prześledzimy na przykładzie macierzy \(\displaystyle{ 2 \times 3}\):
Dwa wiersze i trzy kolumny.
\(\displaystyle{ G=S_{2} \times S_{3}.}\)
Wypiszmy elementy obu grup:
\(\displaystyle{ S_{2}=\left\{ \left( w_{1} \right) \left( w_{2} \right) , \left( w_{1}w_{2} \right) \right\}}\)
\(\displaystyle{ S_{3}=\left\{ \left( k_{1} \right) \left( k_{2} \right) \left( k_{3} \right) , \left( k_{1}k_{2} \right) \left( k_{3} \right) , \left( k_{1}k_{3} \right) \left( k_{2} \right) , \left( k_{2}k_{3} \right) \left( k_{1} \right) , \left( k_{1}k_{2}k_{3} \right), \left( k_{1}k_{3}k_{2} \right) \right\}.}\)
Zapiszmy teraz permutacje za pomocą indeksów cyklowych:
\(\displaystyle{ I_{S_{2}}=j_{1}^2+j_{2}}\)
\(\displaystyle{ I_{S_{3}}=j_{1}^3+3j_{1}j_{2}+2j_{3}.}\)
A teraz zgodnie z oczekiwaniem wymnożymy te indeksy cyklowe.
Najpierw podam wzór na: "rozdzielność iloczynu kartezjańskiego względem dodawania"
\(\displaystyle{ \left( j_{k_{1}}^{n_{1}}+j_{k_{2}}^{n_{2}}\right) \times \left( j_{l_{1}}^{m_{1}}+j_{l_{2}}^{m_{2}}\right)=\left( j_{k_{1}}^{n_{1}} \times j_{l_{1}}^{m_{1}} \right)+ \left( j_{k_{1}}^{n_{1}} \times j_{l_{2}}^{m_{2}} \right)+\left( j_{k_{2}}^{n_{2}} \times j_{l_{1}}^{m_{1}} \right)+\left( j_{k_{2}}^{n_{2}} \times j_{l_{2}}^{m_{2}} \right).}\)
Oczywiście wzór ten można rozszerzyć na dowolną liczbę indeksów.
Napiszmy teraz podobny wzór na iloczyn kartezjański kilku cykli, w naszym przypadku dla dwóch, bo na więcej łatwo rozszerzyć:
niech: \(\displaystyle{ a^i,b^j,c^k,d^l}\) cykle
\(\displaystyle{ a^i=\underbrace{(1,...,n)(1,...,n)...(1,...,n)}_{i}}\) - łączenie cykli o tej samej długości
\(\displaystyle{ \left( a^ib^j\right) \times \left( c^kd^l\right)=\left( a^i \times c^k \right) \left( a^i \times d^l\right)\left( b^j \times c^k\right)\left( b^j \times d^l\right)}\)
\(\displaystyle{ j_{n}=(1,2,...,n)}\) - tu chodzi o długość cyklu.
Ważne, abyśmy mieli pojęcie czym jest indeks dolny i górny w zapisie cyklowym.
\(\displaystyle{ j_{k}^i}\) - jest to złożenie \(\displaystyle{ i}\) cykli o długości \(\displaystyle{ k}\).
Podam teraz najważniejszy wzór na bezpośredni iloczyn kartezjański dwóch grup cyklowych o tej samej długości:
\(\displaystyle{ j_{k}^n \times j_{l}^m=j_{\left\langle k,l \right\rangle}^{n \cdot m \cdot \left( k,l \right) }}\)
gdzie:
\(\displaystyle{ \left( k,l \right) =NWD \left( k,l \right),}\)
\(\displaystyle{ \left\langle k,l \right\rangle=NWW \left( k,l \right),}\)
\(\displaystyle{ j_{k}^1=j_{k}.}\)
Uzbrojeni w powyższe wzory możemy pomnożyć indeksy cyklowe w naszym prostym przykładzie.
\(\displaystyle{ I_{G}=I_{S_{2}} \times I_{S_{3}}=\left( j_{1}^2+j_{2}\right) \times \left( j_{1}^3+3j_{1}j_{2}+2j_{3}\right)=}\)
\(\displaystyle{ \left( j_{1}^2\right) \times\left( j_{1}^3 \right)+3 \left( j_{1}^2\right) \times\left( j_{1}j_{2} \right)+2\left( j_{1}^2\right) \times\left( j_{3}\right)+\left( j_{2}\right) \times\left( j_{1}^3 \right)+3 \left( j_{2}\right) \times\left( j_{1}j_{2} \right)+2\left( j_{2}\right) \times\left( j_{3}\right).}\)
Zgodnie z ostatnim wzorem:
\(\displaystyle{ j_{1}^2 j_{1}^3=j_{1}^6}\)
\(\displaystyle{ 3 \left( j_{1}^2\right) \times\left( j_{1}j_{2} \right)=3\left( j_{1}^2 \times j_{1} \right)\left( j_{1}^2 \times j_{2} \right)=3\left( j_{1}^2\right)\left( j_{2}^2 \right)}\)
\(\displaystyle{ 2\left( j_{1}^2\right) \times\left( j_{3}\right)=2\left( j_{3}^2\right)}\)
\(\displaystyle{ j_{2}\times j_{1}^3 =j_{2}^3}\)
\(\displaystyle{ 3 \left( j_{2}\right) \times\left( j_{1}j_{2} \right)=3\left( j_{2} \times j_{1} \right) \left( j_{2} \times j_{2} \right)=3\left( j_{2}^1\right)\left( j_{2}^2\right)}\)
\(\displaystyle{ 2\left( j_{2}\right) \times\left( j_{3}\right)=2j_{6}.}\)
Dodając otrzymamy sumę indeksów cyklowych dla iloczynu kartezjańskiego obu grup, lub jak kto woli już jednej:
\(\displaystyle{ I_{G}=j_{1}^6+3\left( j_{1}^2\right)\left( j_{2}^2 \right)+2\left( j_{3}^2\right)+j_{2}^3+3\left( j_{2}^1\right)\left( j_{2}^2\right)+2j_{6}.}\)
Stworzymy teraz na bazie indeksów cyklowych wielomian charakterystyczny, to znaczy przyporządkujmy każdemu indeksowi cyklowemu wielomian na zasadzie:
\(\displaystyle{ j_{k}^n \rightarrow (1+x^k)^n.}\)
Zatem nasz wielomian będzie wyglądał następująco:
\(\displaystyle{ w \left( x \right) =\\= \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{6} \left[ \left( 1+x \right) ^6+3 \left( 1+x \right) ^2 \left( 1+x^2 \right) ^2+2 \left( 1+x^3 \right) ^2+ \left( 1+x^2 \right) ^3+3 \left( 1+x^2 \right) \left( 1+x^2 \right) ^2+2 \left( 1+x^6 \right) \right]}\)
lub po uproszczeniu otrzymamy:
\(\displaystyle{ w \left( x \right) =x^6+x^5+3x^4+3x^3+3x^2+x+1}\)
Ten wielomian jest wynikiem naszych obliczeń, z tego wielomianu możemy odczytać np., że:
1. jest jedna macierz, w której liczba jedynek wynosi \(\displaystyle{ 6}\);
2. jest jedna macierz, w której liczba jedynek wynosi \(\displaystyle{ 5}\);
3. są trzy macierze, w których liczba jedynek wynosi \(\displaystyle{ 4}\);
itd...
Oczywiście z dokładnością do permutacji wierszy i kolumn.
Na poniższym rysunku widać istotnie różne macierze ze względu na działanie naszej grupy permutacji.
Z tą drobną różnicą, że zamiast jedynek zapisanych w poszczególnych komórkach dałem czerwone kwadraciki, natomiast zera symbolizują białe kwadraciki.
Doświadczenie zgadza się z naszymi obliczeniami, ponieważ dla jednej jedynki i pięciu zer mamy tylko jedną macierz, a dla 2 i 3 jedynek mamy po trzy niezależne macierze.
Jest jak widać jedna, trzy i trzy możliwości, natomiast dla czterech pięciu i sześciu jedynek (u nas czerwonych kwadratów) sytuacja staje się symetryczna.
Jak widać jest to dość pracochłonne i mozolne zliczanie, efektywniej pewnie byłoby napisać jakiś programik komputerowy dla zliczania w przypadku większej ilości wierszy i kolumn, ilość obliczeń wzrasta lawinowo.
Dziękuję za uwagę...
Permutacje macierzy zero-jedynkowej, mnożenie cykli
- arek1357
- Użytkownik
- Posty: 5750
- Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: blisko
- Podziękował: 131 razy
- Pomógł: 526 razy
Permutacje macierzy zero-jedynkowej, mnożenie cykli
Ostatnio zmieniony 11 maja 2019, o 23:02 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
- arek1357
- Użytkownik
- Posty: 5750
- Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: blisko
- Podziękował: 131 razy
- Pomógł: 526 razy
Re: Permutacje macierzy zero-jedynkowej, mnożenie cykli
Aneks do tematu:
Chciałbym w tym aneksie pokazać jeszcze reprezentacje macierzowe permutacji wierszy i kolumn oraz ich iloczyn tensorowy.
Jest to przykład innego sposobu realizacji tego samego tematu albo można traktować to jak ładne uzupełnienie zagadnienia.
Najpierw wypiszmy macierze permutacji wierszy i kolumn tej tabelki.
1. Macierze permutacji wierszy:
\(\displaystyle{ e= \begin{bmatrix} 1&0\\0&1\end{bmatrix} }\)
\(\displaystyle{ j= \begin{bmatrix} 0&1\\1&0\end{bmatrix}}\)
Jak pamiętamy jest dwa wiersze więc grupa permutacji: \(\displaystyle{ S_{2}}\) zawiera tylko dwa elementy: \(\displaystyle{ e=(.)(.), j=(..)}\)
2. Macierze permutacji kolumn:
\(\displaystyle{ E=\begin{bmatrix} 1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}\)
\(\displaystyle{ J_{1}=\begin{bmatrix} 1&0&0\\0&0&1\\0&1&0\end{bmatrix} }\)
\(\displaystyle{ J_{2}=\begin{bmatrix} 0&0&1\\0&1&0\\1&0&0\end{bmatrix}}\)
\(\displaystyle{ J_{3}=\begin{bmatrix} 0&1&0\\1&0&0\\0&0&1\end{bmatrix}}\)
\(\displaystyle{ J_{4}=\begin{bmatrix} 0&1&0\\0&0&1\\1&0&0\end{bmatrix} , J_{5}=\begin{bmatrix} 0&0&1\\1&0&0\\0&1&0\end{bmatrix}}\)
Jak widać jest to reprezentacja grupy \(\displaystyle{ S_{3}}\), pierwsza macierz jest elementem neutralnym, pozostałe trzy macierze odpowiadają
permutacjom typu: \(\displaystyle{ (.)(..)}\) , a ostanie dwie macierze odpowiadają permutacjom typu: \(\displaystyle{ (...)}\)
Więc wszystko się zgadza.
Pokażę teraz jak można ładnie "tworzyć" reprezentację macierzową grupy: \(\displaystyle{ S_{2} \times S_{3}}\)
A więc będziemy realizować ten pomysł za pomocą iloczynu tensorowego macierzy grup: \(\displaystyle{ S_{2} \wedge S_{3}}\)
Narysujmy sobie jeszcze tabelkę z ponumerowanymi komórkami, żeby potem mieć lepszy ogląd sytuacji na permutacje jakie w niej zachodzą:
\(\displaystyle{ \color{red}{\begin{array}{|r|c|c|}
\hline
1 & 2 & 3 \\ \hline
4 & 5 & 6 \\ \hline
\end{array}} }\)
mamy do realizacji aż dwanaście iloczynów tensorowych macierzy:
\(\displaystyle{ e \otimes E , e \otimes J_{1} , e \otimes J_{2} , e \otimes J_{3} , e \otimes J_{4} , e \otimes J_{5}}\)
\(\displaystyle{ j \otimes E , j \otimes J_{1} , j \otimes J_{2} , j \otimes J_{3} , j \otimes J_{4} , j \otimes J_{5}}\)
Nie będę tu wypisywał wszystkich iloczynów tensorowych tych macierzy bo mija się to z celem , wypiszę tylko trzy:
\(\displaystyle{ e \otimes E= \begin{bmatrix} 1&0\\0&1\end{bmatrix} \otimes \begin{bmatrix} 1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1&0&0&0&0&0\\0&1&0&0&0&0\\0&0&1&0&0&0\\0&0&0&1&0&0\\0&0&0&0&1&0\\0&0&0&0&0&1\end{bmatrix}}\) permutacja komórek tabelki odpowiadająca jej: \(\displaystyle{ (1)(2)(3)(4)(5)(6)}\)
Zgodnie z oczekiwaniem powinna wyjść i wyszła macierz jednostkowa
\(\displaystyle{ j \otimes J_{1}= \begin{bmatrix} 0&1\\1&0\end{bmatrix} \otimes \begin{bmatrix} 1&0&0\\0&0&1\\0&1&0\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0&0&0&1&0&0\\0&0&0&0&0&1\\0&0&0&0&1&0\\1&0&0&0&0&0\\0&0&1&0&0&0\\0&1&0&0&0&0\end{bmatrix}}\) permutacja komórek tabelki: \(\displaystyle{ (1 4)(2 6)(3 5)}\)
Mnożenie jest jak widać bardzo łatwe ponieważ macierz po prawej wstawiamy jak klatki w miejsce jedynek macierzy ze strony lewej.
(zresztą zgodne jest to z regułą mnożenia tensorowego macierzy Kroneckera).
Według schematu:
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 0&1\\1&0\end{bmatrix} \otimes J_{1} = \begin{bmatrix} 0&J_{1}\\J_{1}&0\end{bmatrix} }\)
Pomnóżmy jeszcze:
\(\displaystyle{ j \otimes J_{4}= \begin{bmatrix} 0&1\\1&0\end{bmatrix} \otimes \begin{bmatrix} 0&1&0\\0&0&1\\1&0&0\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0&0&0&0&1&0\\0&0&0&0&0&1\\0&0&0&1&0&0\\0&1&0&0&0&0\\0&0&1&0&0&0\\1&0&0&0&0&0\end{bmatrix}}\) permutacja komórek tabelki: \(\displaystyle{ (1 5 3 4 2 6) }\)
I tak to wygląda z mnożeniem tensorowym macierzy bardzo jak widać przydatnym w iloczynie kartezjańskim grup permutacji.
Jeszcze jedna sprawa dość istotna a mianowicie co by się stało jakbyśmy chcieli pomnożyć tensorowo na odwrót te macierze.
Jaka będzie tego reprezentacja, pytanie na które trzeba będzie odpowiedzieć więc pomnóżmy najpierw np.:
\(\displaystyle{ J_{1} \otimes j=\begin{bmatrix} 1&0&0\\0&0&1\\0&1&0\end {bmatrix} \otimes \begin{bmatrix} 0&1\\1&0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0&1&0&0&0&0\\1&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&1\\0&0&0&0&1&0\\0&0&0&1&0&0\\0&0&1&0&0&0\end{bmatrix}}\)
Jak doskonale widać:
\(\displaystyle{ j \otimes J_{1} \neq J_{1} \otimes j }\)
A spróbujmy napisać permutację elementów czerwonej tabelki odpowiadającej tej macierzy: \(\displaystyle{ J_{1} \otimes j}\) ,
wyglądałaby ona tak:
\(\displaystyle{ (1 2)(3 6)(4 5)}\)
Jak widać bardzo żałośnie i po takiej permutacji tabelka poszłaby w rozsypkę.
Więc teraz narysujemy tabelkę (na zielono), która odpowiadałaby permutacjom odwrotnym czyli przemieniamy iloczyny tensorowe:
\(\displaystyle{ E \otimes e , J_{1} \otimes e , J_{2} \otimes e , J_{3} \otimes e , J_{4} \otimes e , J_{5} \otimes e }\)
\(\displaystyle{ E \otimes j , J_{1} \otimes j , J_{2} \otimes j , J_{3} \otimes j , J_{4} \otimes j , J_{5} \otimes j }\)
Oczywiście będzie na pewno:
\(\displaystyle{ e \otimes E = E \otimes e=I}\)
\(\displaystyle{ \color{green}{\begin{array}{|r|c|}
\hline
1 & 2 \\ \hline
3 & 4 \\ \hline
5 & 6 \\ \hline
\end{array}}}\)
I teraz dla tej ostatniej permutacji: \(\displaystyle{ (1 2)(3 6)(4 5)}\) wszystko działa w jak największym porządku.
(Jak widać w tabelce zielonej permutacja wierszy odpowiada permutacjom kolumn w tabelce czerwonej a permutacja kolumn w tabelce zielonej odpowiada permutacji wierszy w tabelce czerwonej)...
Więc odwrotność iloczynu tensorowego będzie prawidłowo realizowana w tabelce zielonej a nie czerwonej.
Jak widać temat ten uzupełniony został o macierze permutacji , iloczyn tensorowy tych macierzy oraz o tabelki reprezentujące grupę permutacji.
Temat może być rozwojowy ponieważ można zliczać różne układy w takiej tabelce licząc stabilizatory i orbity dla pewnych grup elementów zawartych wewnątrz tabelki w rozmaity sposób, dlatego wszelkie spostrzeżenia, uwagi i uzupełnienia mile widziane...
Chciałbym w tym aneksie pokazać jeszcze reprezentacje macierzowe permutacji wierszy i kolumn oraz ich iloczyn tensorowy.
Jest to przykład innego sposobu realizacji tego samego tematu albo można traktować to jak ładne uzupełnienie zagadnienia.
Najpierw wypiszmy macierze permutacji wierszy i kolumn tej tabelki.
1. Macierze permutacji wierszy:
\(\displaystyle{ e= \begin{bmatrix} 1&0\\0&1\end{bmatrix} }\)
\(\displaystyle{ j= \begin{bmatrix} 0&1\\1&0\end{bmatrix}}\)
Jak pamiętamy jest dwa wiersze więc grupa permutacji: \(\displaystyle{ S_{2}}\) zawiera tylko dwa elementy: \(\displaystyle{ e=(.)(.), j=(..)}\)
2. Macierze permutacji kolumn:
\(\displaystyle{ E=\begin{bmatrix} 1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}\)
\(\displaystyle{ J_{1}=\begin{bmatrix} 1&0&0\\0&0&1\\0&1&0\end{bmatrix} }\)
\(\displaystyle{ J_{2}=\begin{bmatrix} 0&0&1\\0&1&0\\1&0&0\end{bmatrix}}\)
\(\displaystyle{ J_{3}=\begin{bmatrix} 0&1&0\\1&0&0\\0&0&1\end{bmatrix}}\)
\(\displaystyle{ J_{4}=\begin{bmatrix} 0&1&0\\0&0&1\\1&0&0\end{bmatrix} , J_{5}=\begin{bmatrix} 0&0&1\\1&0&0\\0&1&0\end{bmatrix}}\)
Jak widać jest to reprezentacja grupy \(\displaystyle{ S_{3}}\), pierwsza macierz jest elementem neutralnym, pozostałe trzy macierze odpowiadają
permutacjom typu: \(\displaystyle{ (.)(..)}\) , a ostanie dwie macierze odpowiadają permutacjom typu: \(\displaystyle{ (...)}\)
Więc wszystko się zgadza.
Pokażę teraz jak można ładnie "tworzyć" reprezentację macierzową grupy: \(\displaystyle{ S_{2} \times S_{3}}\)
A więc będziemy realizować ten pomysł za pomocą iloczynu tensorowego macierzy grup: \(\displaystyle{ S_{2} \wedge S_{3}}\)
Narysujmy sobie jeszcze tabelkę z ponumerowanymi komórkami, żeby potem mieć lepszy ogląd sytuacji na permutacje jakie w niej zachodzą:
\(\displaystyle{ \color{red}{\begin{array}{|r|c|c|}
\hline
1 & 2 & 3 \\ \hline
4 & 5 & 6 \\ \hline
\end{array}} }\)
mamy do realizacji aż dwanaście iloczynów tensorowych macierzy:
\(\displaystyle{ e \otimes E , e \otimes J_{1} , e \otimes J_{2} , e \otimes J_{3} , e \otimes J_{4} , e \otimes J_{5}}\)
\(\displaystyle{ j \otimes E , j \otimes J_{1} , j \otimes J_{2} , j \otimes J_{3} , j \otimes J_{4} , j \otimes J_{5}}\)
Nie będę tu wypisywał wszystkich iloczynów tensorowych tych macierzy bo mija się to z celem , wypiszę tylko trzy:
\(\displaystyle{ e \otimes E= \begin{bmatrix} 1&0\\0&1\end{bmatrix} \otimes \begin{bmatrix} 1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1&0&0&0&0&0\\0&1&0&0&0&0\\0&0&1&0&0&0\\0&0&0&1&0&0\\0&0&0&0&1&0\\0&0&0&0&0&1\end{bmatrix}}\) permutacja komórek tabelki odpowiadająca jej: \(\displaystyle{ (1)(2)(3)(4)(5)(6)}\)
Zgodnie z oczekiwaniem powinna wyjść i wyszła macierz jednostkowa
\(\displaystyle{ j \otimes J_{1}= \begin{bmatrix} 0&1\\1&0\end{bmatrix} \otimes \begin{bmatrix} 1&0&0\\0&0&1\\0&1&0\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0&0&0&1&0&0\\0&0&0&0&0&1\\0&0&0&0&1&0\\1&0&0&0&0&0\\0&0&1&0&0&0\\0&1&0&0&0&0\end{bmatrix}}\) permutacja komórek tabelki: \(\displaystyle{ (1 4)(2 6)(3 5)}\)
Mnożenie jest jak widać bardzo łatwe ponieważ macierz po prawej wstawiamy jak klatki w miejsce jedynek macierzy ze strony lewej.
(zresztą zgodne jest to z regułą mnożenia tensorowego macierzy Kroneckera).
Według schematu:
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 0&1\\1&0\end{bmatrix} \otimes J_{1} = \begin{bmatrix} 0&J_{1}\\J_{1}&0\end{bmatrix} }\)
Pomnóżmy jeszcze:
\(\displaystyle{ j \otimes J_{4}= \begin{bmatrix} 0&1\\1&0\end{bmatrix} \otimes \begin{bmatrix} 0&1&0\\0&0&1\\1&0&0\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0&0&0&0&1&0\\0&0&0&0&0&1\\0&0&0&1&0&0\\0&1&0&0&0&0\\0&0&1&0&0&0\\1&0&0&0&0&0\end{bmatrix}}\) permutacja komórek tabelki: \(\displaystyle{ (1 5 3 4 2 6) }\)
I tak to wygląda z mnożeniem tensorowym macierzy bardzo jak widać przydatnym w iloczynie kartezjańskim grup permutacji.
Jeszcze jedna sprawa dość istotna a mianowicie co by się stało jakbyśmy chcieli pomnożyć tensorowo na odwrót te macierze.
Jaka będzie tego reprezentacja, pytanie na które trzeba będzie odpowiedzieć więc pomnóżmy najpierw np.:
\(\displaystyle{ J_{1} \otimes j=\begin{bmatrix} 1&0&0\\0&0&1\\0&1&0\end {bmatrix} \otimes \begin{bmatrix} 0&1\\1&0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0&1&0&0&0&0\\1&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&1\\0&0&0&0&1&0\\0&0&0&1&0&0\\0&0&1&0&0&0\end{bmatrix}}\)
Jak doskonale widać:
\(\displaystyle{ j \otimes J_{1} \neq J_{1} \otimes j }\)
A spróbujmy napisać permutację elementów czerwonej tabelki odpowiadającej tej macierzy: \(\displaystyle{ J_{1} \otimes j}\) ,
wyglądałaby ona tak:
\(\displaystyle{ (1 2)(3 6)(4 5)}\)
Jak widać bardzo żałośnie i po takiej permutacji tabelka poszłaby w rozsypkę.
Więc teraz narysujemy tabelkę (na zielono), która odpowiadałaby permutacjom odwrotnym czyli przemieniamy iloczyny tensorowe:
\(\displaystyle{ E \otimes e , J_{1} \otimes e , J_{2} \otimes e , J_{3} \otimes e , J_{4} \otimes e , J_{5} \otimes e }\)
\(\displaystyle{ E \otimes j , J_{1} \otimes j , J_{2} \otimes j , J_{3} \otimes j , J_{4} \otimes j , J_{5} \otimes j }\)
Oczywiście będzie na pewno:
\(\displaystyle{ e \otimes E = E \otimes e=I}\)
\(\displaystyle{ \color{green}{\begin{array}{|r|c|}
\hline
1 & 2 \\ \hline
3 & 4 \\ \hline
5 & 6 \\ \hline
\end{array}}}\)
I teraz dla tej ostatniej permutacji: \(\displaystyle{ (1 2)(3 6)(4 5)}\) wszystko działa w jak największym porządku.
(Jak widać w tabelce zielonej permutacja wierszy odpowiada permutacjom kolumn w tabelce czerwonej a permutacja kolumn w tabelce zielonej odpowiada permutacji wierszy w tabelce czerwonej)...
Więc odwrotność iloczynu tensorowego będzie prawidłowo realizowana w tabelce zielonej a nie czerwonej.
Jak widać temat ten uzupełniony został o macierze permutacji , iloczyn tensorowy tych macierzy oraz o tabelki reprezentujące grupę permutacji.
Temat może być rozwojowy ponieważ można zliczać różne układy w takiej tabelce licząc stabilizatory i orbity dla pewnych grup elementów zawartych wewnątrz tabelki w rozmaity sposób, dlatego wszelkie spostrzeżenia, uwagi i uzupełnienia mile widziane...