Konstrukcja siedemnastokąta foremnego

Zbiór informacji o elementarnych zagadnieniach matematyki, klasyfikowanych najczęściej jako "ciekawostki" właśnie...
Awatar użytkownika
arek1357
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5703
Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: blisko
Podziękował: 129 razy
Pomógł: 524 razy

Konstrukcja siedemnastokąta foremnego

Post autor: arek1357 »

Konstrukcja 17 kąta foremnego
na okręgu jednostkowym:


Potrzebna do tego będzie liczba;

\(\displaystyle{ \zeta=\cos\frac{2\pi}{17}+i\sin\frac{2\pi}{17}}\)

Weźmy teraz przekształcenie :

\(\displaystyle{ \phi,}\) niech

\(\displaystyle{ \phi\left( \zeta\right)= \left(\zeta\right)^{3}}\)


oczywiście:

\(\displaystyle{ \left(\zeta\right)^{17}=1}\)


niech teraz:

\(\displaystyle{ u=\zeta+ \phi^{4}\left(\zeta\right)+\phi^{8}\left(\zeta\right)+\phi^{12}\left(\zeta\right)}\)

łatwo więc obliczyć teraz:

\(\displaystyle{ u, \phi\left(u\right), \phi^{2}\left(u\right),\phi^{3}\left(u\right)}\)

dosyć żmudne ale wykonalne i w wyniku otrzymamy:


(1) \(\displaystyle{ \begin{cases}u=\zeta+\zeta^{4}+\zeta^{13}+\zeta^{16}\\ \phi\left(u\right)=\zeta^{3}+\zeta^{12}+\zeta^{5}+\zeta^{14}\\ \phi^{2}\left(u\right)=\zeta^{2}+\zeta^{8}+\zeta^{9}+\zeta^{15} \\ \phi^{3}\left(u\right)=\zeta^{6}+\zeta^{7}+\zeta^{10}+\zeta^{11} \end{cases}}\)

Nasze ciało K , gdzie:

\(\displaystyle{ Q \subset K \subset Q\left(\zeta\right)}\)

[K]=4


jest generowane przez elementy u.., jest ono stałe względem podgrupy przekształceń H.

podgrupa grupy przekształceń to jest H.

\(\displaystyle{ H=\{id, \phi,\phi^{2},\phi^{3} \}}\)


\(\displaystyle{ \left[Q\left(\zeta_{17}\right):Q\right]=16}\)

Każde konstruowalne rozszerzenie danego ciała jest potęgą dwójki!

Grupa G o generatorze \(\displaystyle{ \phi}\) jest cykliczna. Jest to grupa automorfizmów przekształcających ciało \(\displaystyle{ Q\left(\zeta_{17}\right)}\)

w siebie.Q jest oczywiście ciałem stałym.


układ równań (1) możemy przepisać w inny sposób:

(2) \(\displaystyle{ \begin{cases}u=4\cos\left(\frac{5\pi}{17}\right)\cdot \cos \left(\frac{3\pi}{17}\right)\\ \phi\left(u\right)=4\cos\left(\frac{9\pi}{17}\right)\cdot \cos \left(\frac{13\pi}{17}\right)\\ \phi^{2}\left(u\right)=-4\cos\left(\frac{6\pi}{17}\right)\cdot \cos \left(\frac{7\pi}{17}\right)=2\cos\frac{4\pi}{17}-2\cos\frac{\pi}{17}\\ \phi^{3}\left(u\right)=-4\cos\left(\frac{4\pi}{17}\right)\cdot \cos \left(\frac{\pi}{17}\right) \end{cases}}\)


Łatwo wykazać, że:

(*) \(\displaystyle{ \phi^{3}\left(u\right)<\phi^{2}\left(u\right)< 0<\phi\left(u\right)<u}\)

Biorąc po uwagę układ równań (2) utwórzmy wielomian:

\(\displaystyle{ w\left(x\right)=\left(x-u\right)\left(x-\phi\left(u\right)\right)\left(x-\phi^{2}\left(u\right)\right)\left(x-\phi^{3}\left(u\right)\right)}\)

po bardzo uciążliwych obliczeniach, których tu nie ma potrzeby zamieszczać otrzymujemy zgrabny wielomian:

\(\displaystyle{ w\left(x\right)=x^{4}+x^{3}-6x^{2}-x+1}\)

Jest to wielomian minimalny elementu u.Nierozkładalny w Q.

Wypiszmy teraz z (2) dwa równania:

\(\displaystyle{ \begin{cases} \phi^{2}\left(u\right)=2\cos\frac{4\pi}{17}-2\cos\frac{\pi}{17}=-4\cos\left(\frac{6\pi}{17}\right)\cdot \cos \left(\frac{7\pi}{17}\right)\\ \phi^{3}\left(u\right)=-4\cos\left(\frac{4\pi}{17}\right)\cdot \cos \left(\frac{\pi}{17}\right) \end{cases}}\)

i popodstawiajmy:

\(\displaystyle{ \cos\left(\frac{4\pi}{17}\right)=x,}\)

\(\displaystyle{ \cos\left(\frac{\pi}{17}\right)=y,}\)

\(\displaystyle{ \phi^{2}\left(u\right)=a,}\)

\(\displaystyle{ \phi^{3}\left(u\right)=b}\)


otrzymamy układ równań:

\(\displaystyle{ \begin{cases} 2x-2y=a\\ -4xy=b \end{cases}}\)

lub inaczej jak wykluczymy jedną zmienną:

\(\displaystyle{ 4x^{2}-2ax+b=0}\)

Jest to minimalny wielomian rozkładu liczby: \(\displaystyle{ \cos \frac{4\pi}{17}}\)
nad ciałem K[a,b].


Jasnym jest , że rozwiązaniami między innymi wielomianu w(x) są między innymi:a oraz b

Obliczenia pierwiastków równania czwartego stopnia są bardzo żmudne i niewiele wnoszą pozwolę sobie wypisać same pierwiastki wyliczone już:

\(\displaystyle{ \begin{cases} b=x_{1}=-\frac{1+\sqrt{17}+\sqrt{34+2\sqrt{17}}}{4}\\ x_{2}=\frac{-1-\sqrt{17}+\sqrt{34+2\sqrt{17}}}{4}\\ a= x_{3}=\frac{-1+\sqrt{17}-\sqrt{34-2\sqrt{17}}}{4}\\ x_{4}=\frac{-1+\sqrt{17}+\sqrt{34-2\sqrt{17}}}{4}\\ \end{cases}}\)


Z łatwych porównań widać, że:

\(\displaystyle{ x_{1}<x_{3}<0<x_{2}<x_{4}}\)

Z ostatnich nierwności jak i z (*) widać że xi to tylko permutacja pierwiastków w(x)

otrzymujemy więc:

\(\displaystyle{ \begin{cases} u=x_{4} \\ \phi\left(u\right)=x_{2} \\ \phi^{2}\left(u\right)=x_{3}=a \\ \phi^{3}\left(u\right)=x_{1}=b \\ \end{cases}}\)

Rozwiążemy teraz nasz układ równań:

\(\displaystyle{ \begin{cases} 2x-2y=a\\ -4xy=b \end{cases}}\)

po wyliczeniu x1, x2 okazuje się że \(\displaystyle{ x_1 < 0}\), ale wiemy że: \(\displaystyle{ \cos\frac{4\pi}{17}>0}\)

czyli interesujące nas rozwiązanie to:

\(\displaystyle{ \cos\left(\frac{4\pi}{17}\right)=\frac{a+\sqrt{a^{2}-4b}}{4}}\)

Pamiętając ile wynosi ai b.

Po bardzo żmudnych obliczeniach otrzymujemy wreszcie nasz cosinus, upraszczamy do maximum nasze pierwiastki,

między innymi korzystam (jako ciekawostka do udowodnienia) z takich tożsamości:

\(\displaystyle{ \begin{cases} \sqrt{17}\sqrt{34+2\sqrt{17}}=\sqrt{34+2\sqrt{17}}+4\sqrt{34-2\sqrt{17}} \\ \sqrt{17}\sqrt{34-2\sqrt{17}}=4\sqrt{34+2\sqrt{17}}-\sqrt{34-2\sqrt{17}} \end{cases}}\)



i ostatecznie nasz kąt a właściwie jego cosinus ma postać:

\(\displaystyle{ \cos\frac{4\pi}{17}=\frac{-1+\sqrt{17}-\sqrt{34-2\sqrt{17}}}{16}+\frac{\sqrt{17+3\sqrt{17}+\sqrt{34-2\sqrt{17}}+2\sqrt{34+2\sqrt{17}}}}{8}}\)

Oczywiste, że mając \(\displaystyle{ \cos\frac{4\pi}{17}}\) mamy również kąt: \(\displaystyle{ \cos\frac{2\pi}{17}}\)

jak i również:

\(\displaystyle{ \sin\frac{2\pi}{17}}\)


a więc ten o który nam chodziło.

To tak w skrócie.

W 1898 roku przez Schwendenheima i Richelota został skonstruowany 257 - kąt foremny.

Natomiast konstrukcją 65537 - kąta zajmował się O. Hermes poświęcił jej 10 lat życia. Książka poświęcona tej konstrukcji znajduje się w Getyndze.

Jako ciekawostkę podam, że jakbym absolutnie wszystkie obliczenia tu umieścił, które wykonałem
to zajęłoby sporo więcej na kartkach to zajęło mi to cały zeszyt 32 kartkowy.
Mam jeszcze inną konstrukcję 17 kąta foremnego bardziej "konstrukcyjną" z rysunkiem,
ale obliczenie kąta (wynik) jest identyczny jak w powyższym rozumowaniu
Ostatnio zmieniony 12 sty 2012, o 20:12 przez Chromosom, łącznie zmieniany 1 raz.
Parton
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 158
Rejestracja: 10 gru 2008, o 23:20
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wawa
Podziękował: 7 razy
Pomógł: 10 razy

Konstrukcja siedemnastokąta foremnego

Post autor: Parton »

Sam to wymyśliłeś? Skonstruowanie 17 kąta to jeszcze rozumiem - to piękna ilustracja do Teorii Galois, ale poświęcać 10 lat życia na konstrukcję 65537 - kąta to dla mnie trochę bzdura. Właściwie to ja zawsze uwielbiałem geometrię, ale ze smutkiem stwierdzam, że oprócz Pitagorasa i Talesa to w wyższej matematyce ani razu nie użyłem żadnego Twierdzenia Geometrycznego, chociaż w liceum było ich mnóstwo. Czy planimetria to nie jest trochę zabawa, której jedynym skutkiem jest rozwijanie wyobraźni?
Awatar użytkownika
arek1357
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5703
Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: blisko
Podziękował: 129 razy
Pomógł: 524 razy

Konstrukcja siedemnastokąta foremnego

Post autor: arek1357 »

Tak to co widzisz to tylko i wyłącznie moja praca.

I tu się z Tobą zgadzam, że poświęcenie 10 lat życia
na konstrukcję 65537 - kąta jest co najmniej ciut niemądre. Niewiele wnosi można przez ten czas zrobić coś ciekawszego i bardziej pożytecznego.W sumie przydaje się tw. sinusów, cosinusów ale tak jak mówisz reszta jest niezbyt przydatna.
Awatar użytkownika
yorgin
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 12762
Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 17 razy
Pomógł: 3440 razy

Konstrukcja siedemnastokąta foremnego

Post autor: yorgin »

W ramach zapoznawania się z możliwościami programu GeoGebra wykonałem animację pokazującą konstrukcję krok po kroku opisanego wyżej wielokąta foremnego.

Zapraszam na stronę: http://tube.geogebra.org/student/m285147
Dilectus
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2662
Rejestracja: 1 gru 2012, o 00:07
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Pomógł: 369 razy

Konstrukcja siedemnastokąta foremnego

Post autor: Dilectus »

Animacja jest piękna...
ODPOWIEDZ