\(\displaystyle{ \textbf{P.V.} \int_a^b f(x) \; \mbox d x = \lim_{\epsilon \to 0^+} \left\{ \left( \int_a^{c - \epsilon} + \int_{c + \epsilon}^b \right) f(x) \; \mbox d x\right\}}\)
Podobnie definiujemy wartość główną całki w przedziale nieskończonym. Zakładając, że nie ma ona punktów osobliwych wewnątrz przedziału \(\displaystyle{ (-\infty, + \infty)}\) jest to\(\displaystyle{ \textbf{P.V.} \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \; \mbox d x = \lim_{\rho \to + \infty} \int_{- \rho}^{\rho} f(x) \; \mbox d x}\)
Jeżeli w zespolonej całce krzywoliniowej na konturze całkowania \(\displaystyle{ C}\) znajduje się punkt osobliwy, możemy tak zmienić kontur całkowania, by dany punkt osobliwy był omijany przez łuk okręgu o dowolnie małym promieniu \(\displaystyle{ \epsilon}\). Wartość główną całki definiujemy wtedy jako\(\displaystyle{ \textbf{P.V.} \int_C f(z) \; \mbox d z = \lim_{\epsilon \to 0} \int_{C(\epsilon)} f(z) \; \mbox d z}\)
Inne oznaczenia spotykane w literaturze, to: \(\displaystyle{ \text{p.v.}, \; P, \; \text{P}, \; \mathcal{P}, \; P_v, \; (C.P.V), \; \text{V.P.}, \; \text{V.p.}}\). W polskiej literaturze przeważa oznaczenie V.p.
Przykłady:
1)
\(\displaystyle{ \begin{eqnarray*}\textbf{P.V.} \int_{-2}^1 \frac{\mbox d x}{x} & = & \lim_{\epsilon \to 0^+} \left\{ \left( \int_{-2}^{-\epsilon} + \int_{\epsilon}^1 \right) \frac{\mbox d x}{x} \right\} = \\ &=& \lim_{\epsilon \to 0^+} \left\{ \ln |-\epsilon| - \ln |-2| + \ln 1 - \ln |\epsilon| \right\} = - \ln 2 \end{eqnarray*}}\)
Warto przy okazji dodać, że gdybyśmy nie liczyli tutaj wartości głównej całki, a zwykłą całkę niewłaściwą to pojawiłaby się granica
\(\displaystyle{ \lim_{\substack{\epsilon \to 0^- \\ \eta \to 0^+}} \left\{ \ln |\epsilon| - \ln |-2| + \ln 1 - \ln |\eta| \right\}}\)
która nie istnieje, gdyż \(\displaystyle{ \epsilon}\) i \(\displaystyle{ \eta}\) dążą do zera niezależnie.
2)
\(\displaystyle{ $\begin{eqnarray*}\textbf{P.V.} \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\mbox d x}{1+x^2} & = & \lim_{\rho \to + \infty} \left\{ \left( \int_{-\rho}^0 + \int_0^\rho \right) \frac{\mbox d x}{1 + x^2} \right\} = \\
&=& \lim_{\rho \to + \infty} \left\{ \arctan \rho - \arctan (-\rho) \right\} = \pi \end{eqnarray*}}\)
Na tym przykładzie widzimy, iż jeżeli istnieje całka niewłaściwa to istnieje także w sensie wartości głównej. Twierdzenie odwrotne przeważnie nie jest prawdziwe (patrz poprzedni przykład).
3)
Czasem zdarza się, że osobliwość jest w pewnym skończonym punkcie oraz w nieskończoności, tak jak np. ma miejsce w następującej funkcji \(\displaystyle{ f(x) = \frac{1}{(x-2)(1+x^2)}}\), wtedy
\(\displaystyle{ \begin{eqnarray*}\textbf{P.V.} \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\mbox d x}{(x-2)(1+x^2)} = \lim_{\epsilon \to 0^+} \left\{ \left( \int_{2 - \frac{1}{\epsilon}}^{2 - \epsilon} + \int_{2 + \epsilon}^{2 + \frac{1}{\epsilon}} \right) f(x) \; \mbox d x \right\} = \ldots \end{eqnarray*}}\)