Twierdzenie Stolza

Zbiór wzorów, definicji i najczęściej poruszanych problemów z Analizy.
Awatar użytkownika
mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 11768
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 3196 razy
Pomógł: 759 razy

Twierdzenie Stolza

Post autor: mol_ksiazkowy »

Twierdzenie Stolza
Jeśli ciągi \(\displaystyle{ x_n}\) i \(\displaystyle{ y_n}\) są takie, że:
1) \(\displaystyle{ \lim y_n =+ \infty}\)
2) \(\displaystyle{ y_n < y_{n+1}}\) dla \(\displaystyle{ n \geq 1}\)
to ze zbieżności ciągu \(\displaystyle{ \frac{x_n - x_{n-1}}{y_n - y_{n-1}}}\) wynika zbieżność ciągu \(\displaystyle{ \frac{x_n}{y_n}}\),
przy czym obie granice są równe.

Dowód
np. Fichtenholz
Nazywa się je też twierdzeniem Stolza-Cesàro. Twierdzenie odwrotne jest fałszywe, tj. ze zbieżności ciągu \(\displaystyle{ \frac{x_n}{y_n}}\) nie wynika zbieżność ciągu \(\displaystyle{ \frac{x_n-x_{n-1}}{y_n-y_{n-1}}}\). Twierdzenie Stolza idealnie nadaje się do rozwiązywania zadań typu "granica iterowana", i różne typu \(\displaystyle{ 0 \cdot \infty}\), \(\displaystyle{ \frac{\infty}{\infty}}\), \(\displaystyle{ \infty - \infty}\) etc.

Zastosowania twierdzenia Stolza w teorii, to głównie teoria ułamków łańcuchowych, gdzie chodzi o przekształcanie tzw reduktów rzędu \(\displaystyle{ n}\), takich ułamków w myśl tego twierdzenia.
Jest tu też możliwe użycie twierdzenia Stolza w formie:
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \frac{x_n}{y_n} = \lim_{n \to \infty} \frac{\gamma_{n+1} x_{n+1}-\gamma_{n} x_n}{\gamma_{n+1} y_{n+1}- \gamma_n y_n}}\)
o ile \(\displaystyle{ \gamma_{n}y_n < \gamma_{n+1}y_{n+1}}\) dla \(\displaystyle{ n \geq 1}\).

Wniosek z twierdzenia Stolza: Jeśli \(\displaystyle{ x_n}\) i \(\displaystyle{ y_n}\) spełniają założenia twierdzenia, to ciągi \(\displaystyle{ x_n^2}\) i \(\displaystyle{ y_n^2}\) także. A więc wtedy: \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \frac{x_n}{y_n} = \lim_{n \to \infty} \frac{x_{n}+x_{n+1}}{y_{n}+y_{n+1}}}\).

Lemat
Jeśli ciąg \(\displaystyle{ c_n}\) jest zbieżny, to ciąg \(\displaystyle{ \frac{c_1+…+c_n}{n}}\) też jest zbieżny i do tej samej granicy

Dowód
Wynika to wprost z twierdzenia Stolza, bo gdy \(\displaystyle{ x_n = c_1+...+c_n}\) zaś \(\displaystyle{ y_n=n}\) czyli \(\displaystyle{ c_n =\frac{x_n-x_{n-1}}{y_n-y_{n-1}}}\) oraz
\(\displaystyle{ \frac{ c_1+...+c_n }{n}=\frac{x_n}{y_n}}\)

Przykład
\(\displaystyle{ \lim \sqrt{n} \cdot \underbrace{\sin( \sin (\dots \sin(1)))}_{n}}\)=?

Rozwiązanie
Ciąg \(\displaystyle{ b_n}\) (iteracji sinusa), tj. ciąg \(\displaystyle{ b_n = \sin(b_{n-1}) \ b_1=1}\); jest zbieżny do zera.
Niech \(\displaystyle{ c_n=\frac{1}{b_n^2} - \frac{1}{b_{n-1}^2} = \frac{b_{n-1}^2 - \sin^2(b_{n-1})}{ b_{n-1}^2 \sin^2(b_{n-1})}}\) dla \(\displaystyle{ n>1}\) oraz \(\displaystyle{ c_1= \frac{1}{b_1^2}}\) i:

\(\displaystyle{ \lim c_n = \lim_{x \to 0} \frac{x^2 - \sin^2(x)}{ x^2 \sin(x)^2}= \lim_{x \to 0} \frac{x - \sin(x)}{x^3} \frac{x+\sin(x)}{x} \frac{x^2}{\sin^2 (x)} =\frac{1}{3}}\)
gdyż \(\displaystyle{ \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x) - x}{x^3}= - \frac{1}{6}}\) (reguła de l’Hospitala, itp.)
Z lematu wynika, że ciąg \(\displaystyle{ \frac{1}{nb_n^2}}\) też jest zbieżny do \(\displaystyle{ \frac{1}{3}}\). A zatem \(\displaystyle{ \lim \sqrt{n} \cdot b_n = \sqrt{3}}\)

Przykład
Ciąg \(\displaystyle{ a_n}\) jest określony rekurencyjnie, tj. \(\displaystyle{ a_1=1}\) i \(\displaystyle{ a_{n+1}=a_n(\cos(a_n))^2}\) dla \(\displaystyle{ n=1, 2,....}\) Znaleźć wykładnik \(\displaystyle{ p}\), taki że ciąg \(\displaystyle{ n^pa_n}\) ma granicę dodatnia, skończona i obliczyć ją.

Rozwiązanie
Mamy tu \(\displaystyle{ 0 < a_n \leq 1}\)oraz \(\displaystyle{ a_{n+1}< a_n}\) dla \(\displaystyle{ n \geq 1}\), jest to ciąg zbieżny, i niech \(\displaystyle{ g=\lim a_n}\), z przejścia granicznego (\(\displaystyle{ g=g(\cos (g))^2}\)) wynika \(\displaystyle{ g=0}\), A zatem \(\displaystyle{ \lim a_n=0}\)
Kładąc \(\displaystyle{ y_n=n}\) i \(\displaystyle{ x_n=\frac{1}{(a_n)^2}}\), założenia twierdzenia Stolza są spełnione, oraz:
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \frac{x_{n+1}-x_n}{y_{n+1}-y_n}= \lim_{n \to \infty} \left( \frac{\sin (a_n)}{a_n}\right)^2 \frac{1+\cos^2(a_n)}{\cos^4 (a_n)} = 2}\)
a więc \(\displaystyle{ p=\frac{1}{2}}\) a szukana granica \(\displaystyle{ \frac{1}{\sqrt{2}}}\).


Przykład Klub 44M, zadania 654 i 662
Ciąg \(\displaystyle{ x_n}\) jest określony rekurencją \(\displaystyle{ x_{n+1}= \frac{x_n^2}{e^{x_n}- 1}}\) dla \(\displaystyle{ n \geq 1}\) oraz \(\displaystyle{ x_0 >0}\) .Ile to jest \(\displaystyle{ \lim \frac{n(2 - nx_n)}{\ln n}}\) ?
a ile \(\displaystyle{ \lim (nx_n)}\) ?

Inne przykłady
Jeśli \(\displaystyle{ m \in \NN}\) to \(\displaystyle{ \lim \frac{1^m+ ...+n^m }{n^{m+1}}=\frac{1}{m+1}}\) oraz \(\displaystyle{ \lim n \left( \frac{1^m+ ...+n^m }{n^{m+1}} - \frac{1}{m+1}\right)= \frac{1}{2}}\)

Linki:
Ukryta treść:    
Ostatnio zmieniony 22 mar 2023, o 00:02 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Awatar użytkownika
mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 11768
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 3196 razy
Pomógł: 759 razy

Re: Twierdzenie Stolza

Post autor: mol_ksiazkowy »

Twierdzenie odwrotne jest fałszywe, tj. ze zbieżności ciągu \(\displaystyle{ \frac{x_n}{y_n}}\) nie wynika zbieżność ciągu \(\displaystyle{ \frac{x_n-x_{n-1}}{y_n-y_{n-1}}}\).
np. jeśli \(\displaystyle{ x_n= y_n +(-1)^n}\)

wtedy bowiem ciąg \(\displaystyle{ \frac{x_n}{y_n}}\) jest zbieżny do 1, zaś ciąg \(\displaystyle{ \frac{x_n-x_{n-1}}{y_n-y_{n-1}}}\) nie jest zbieżny,
bo jest "spleceniem" dwóch ciągów o różnych granicach.
Ostatnio zmieniony 22 mar 2023, o 00:04 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
ODPOWIEDZ