Pochodna superpozycji funkcji w punkcie
Jeżeli:- funkcja \(\displaystyle{ g}\) jest określona na przedziale \(\displaystyle{ \langle a,b\rangle}\) oraz istnieje skończona pochodna \(\displaystyle{ g'(x_{0})}\) dla pewnego \(\displaystyle{ x_{0}\in(a,b),}\)
- funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest określona na przedziale \(\displaystyle{ \langle c,d\rangle\supset g\left(\langle a,b\rangle\right)}\) - przeciwdziedzina funkcji \(\displaystyle{ g}\), \(\displaystyle{ f}\) posiada skończoną pochodną w punkcie \(\displaystyle{ g(x_{0}),}\)
\(\displaystyle{ h'(x_{0})=(f\circ g)'(x_{0})=f'(g(x_{0}))\cdot g'(x_{0}).}\)
Dowód:Ponieważ istnieje skończona pochodna \(\displaystyle{ g'(x_{0})}\), \(\displaystyle{ f'(y_{0})}\), gdzie \(\displaystyle{ y_{0}=g(x_{0})}\), więc mamy:
\(\displaystyle{ g(x_{0}+\Delta x)-g(x_{0})=\Delta x[g'(x_{0})+u(x_{0},\Delta x)],}\)
\(\displaystyle{ f(y_{0}+\Delta y)-f(y_{0})=\Delta y[f'(y_{0})+v(y_{0},\Delta y)],}\)
przy czym\(\displaystyle{ u(x_{0},\Delta x)\to 0}\) przy \(\displaystyle{ \Delta x\to 0 ,}\)
\(\displaystyle{ v(y_{0},\Delta y)\to 0}\) przy \(\displaystyle{ \Delta y\to 0 .}\)
Zatem\(\displaystyle{ h(x_{0}+\Delta x)-h(x_{0})=}\)
\(\displaystyle{ = f(g(x_{0}+\Delta x))-f(g(x_{0}))=}\)
\(\displaystyle{ = \left\{\Delta y=g(x_{0}+\Delta x)-g(x_{0}))\right\}=}\)
\(\displaystyle{ =f(y_{0}+\Delta y)-f(y_{0})=}\)
\(\displaystyle{ =[g(x_{0}+\Delta x)-g(x_{0})]\cdot[f'(y_{0})+v(y_{0},\Delta y)]=}\)
\(\displaystyle{ =\Delta x[g'(x_{0})+u(x_{0},\Delta x)]\cdot[f'(y_{0})+v(y_{0},\Delta y)],}\)
\(\displaystyle{ \frac{h(x_{0}+\Delta x)-h_{x_{0}}}{\Delta x}=[g'(x_{0})+u(x_{0},\Delta x)]\cdot[f'(x_{0})+v(y_{0},\Delta y)].}\)
Przechodząc do granicy przy \(\displaystyle{ \Delta x\to 0}\) otrzymujemy:\(\displaystyle{ h'(x_{0})=g'(x_{0})\cdot f'(y_{0})=f'(g(x_{0}))\cdot g'(x_{0}).}\)
\(\displaystyle{ \blacksquare}\)