W nawiązaniu do tego tematu: https://www.matematyka.pl/376631.htm postanowiłem napisać kilka słów o operatorze różnicowym i jego zastosowaniu do obliczania sum.
Niech \(\displaystyle{ f:\RR\to\RR}\). Określamy \(\displaystyle{ \Delta_h f(x)=\Delta_h^1 f(x)=f(x+h)-f(x)}\). Teraz rozważamy iteracje \(\displaystyle{ \Delta_h^{n+1}f(x)=\Delta\bigl(\Delta_h^n f(x)\bigr)}\). Tym sposobem np.
\(\displaystyle{ \begin{aligned}
\Delta_h^2 f(x)&=f(x+2h)-2f(x+h)+f(x)\,,\\[1ex]
\Delta_h^3 f(x)&=f(x+3h)-3f(x+2h)+3f(x+h)-f(x)\,.
\end{aligned}}\)
Można indukcyjnie udowodnić, że
\(\displaystyle{ \Delta_h^n f(x)=\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}(-1)^{n-k} f(x+kh)\,.}\)
Wstawiając odpowiednio dobraną funkcję \(\displaystyle{ f}\), argument \(\displaystyle{ x}\) oraz przyrost \(\displaystyle{ h}\), można otrzymać różne ciekawe sumy. Opieramy się na prostym fakcie: jeśli \(\displaystyle{ n>m}\) oraz \(\displaystyle{ f(x)=x^m}\), to \(\displaystyle{ \Delta_h^nf(x)=0}\). Natomiast dla \(\displaystyle{ f(x)=x^n}\) jest \(\displaystyle{ \Delta_h^n f(x)=n!}\). Sprawdzenie pozostawiam zainteresowanym Czytelnikom.
Niech teraz \(\displaystyle{ f(x)=x^n,x=0,h=1}\). Stąd
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^n(-1)^{n-k}\binom{n}{k}k^n=n!\,.}\)
Dla \(\displaystyle{ i=0,1,\dots,n-1}\) oraz \(\displaystyle{ f(x)=x^i,x=0,h=1}\) jest
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^n(-1)^{n-k}\binom{n}{k}k^i=0\,.}\)
Pokazanie dalszych ciekawych sum, które można otrzymać operatorem różnicowym, również pozostawiam Czytelnikom.