Niech \(\displaystyle{ M}\) będzie podrozmaitością spójną \(\displaystyle{ \mathbb{R}^{n}}\) klasy \(\displaystyle{ \mathcal{C}^{1}}\) wymiaru 1. Wówczas \(\displaystyle{ M}\) jest dyfeomorficzna z okręgiem \(\displaystyle{ S^{1}}\) lub z odcinkiem \(\displaystyle{ (0,1).}\)
Do dowodu tego twierdzenia przyda się pojęcie parametryzacji łukowej oraz dwa lematy:
Definicja Niech \(\displaystyle{ M}\) będzie podrozmaitością \(\displaystyle{ \mathbb{R}^{n}}\) klasy \(\displaystyle{ \mathcal{C}^{1}}\) wymiaru 1. Lokalną parametryzację \(\displaystyle{ p:I\to U\subset M,}\) gdzie \(\displaystyle{ I\subset \mathbb{R}}\) jest przedziałem, a \(\displaystyle{ p(I) = U}\) jest podzbiorem otwartym \(\displaystyle{ M}\) nazywamy parametryzacją łukową, jeśli \(\displaystyle{ \|d_{x}p(1)\| = 1}\) dla dowolnego \(\displaystyle{ x\in I.}\)
Lemat 1: Niech \(\displaystyle{ M}\) będzie podrozmaitością \(\displaystyle{ \mathbb{R}^{n}}\) klasy \(\displaystyle{ \mathcal{C}^{1}}\) wymiaru 1. Niech dana będzie parametryzacja łukowa \(\displaystyle{ p:I\to U\subset M}\).
Wówczas istnieje dyfeomorfizm klasy \(\displaystyle{ \mathcal{C}^{1}}\) między zbiorami otwartymi w \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\) \(\displaystyle{ \varphi:\widetilde{I}\to I}\)
taki, że \(\displaystyle{ p\circ\varphi: \widetilde{I}\to U}\) jest parametryzacją łukową.
Dowód:
Ustalmy \(\displaystyle{ t\in I.}\) Przyjmijmy: \(\displaystyle{ \psi(x):=\int_{t}^{x}\|p'(u)\|du,}\)
Zauważmy, że \(\displaystyle{ \psi'(x) = \|p'(x)\|> 0,}\) zatem jest to odwzorowanie rosnące klasy \(\displaystyle{ \mathcal{C}^{1},}\) z twierdzenia o odwzorowaniu odwrotnym jest to więc dyfeomorfizm klasy \(\displaystyle{ \mathcal{C}^{1}.}\)
Przymując \(\displaystyle{ \varphi := \psi^{-1}}\) otrzymujemy odwzorowanie spełniające tezę.
Lemat 2: Niech \(\displaystyle{ M}\) będzie spójną podrozmaitością \(\displaystyle{ \mathbb{R}^{n}}\) klasy \(\displaystyle{ \mathcal{C}^{1}}\) wymiaru 1. Niech dane będą parametryzacje łukowe \(\displaystyle{ p:I\to U\subset M, \ q: J\to V\subset M.}\) Wówczas \(\displaystyle{ W := U\cap V}\) ma co najwyżej dwie składowe spójne. Co więcej, jeśli \(\displaystyle{ W}\) ma jedną składową, to \(\displaystyle{ p}\) można przedłużyć do parametryzacji łukowej \(\displaystyle{ P:\widetilde{I}\to U\cup V.}\) Jeśli natomiast \(\displaystyle{ W}\) ma dwie składowe spójne, to \(\displaystyle{ M}\) jest dyfeomorficzna z \(\displaystyle{ S^{1}.}\)
Dowód:
Rozważmy dyfeomorfizm \(\displaystyle{ \varphi:= q^{-1}\circ p: p^{-1}(W)\to q^{-1}(W).}\) Jest to odwzorowanie różniczkowalne pomiędzy otwartymi podzbiorami \(\displaystyle{ \mathbb{R}.}\) Z łukowości \(\displaystyle{ p,q}\) mamy \(\displaystyle{ |\varphi'(x)| = \|d_{x}(q^{-1}\circ p)(1)\| = \|(d_{p(x)}q)^{-1}(d_{x}p(1))\|=1,}\)
Czyli \(\displaystyle{ \varphi'(x) = \pm 1.}\)
Rozważmy podzbiór \(\displaystyle{ I\times J}\) będący wykresem funkcji \(\displaystyle{ \varphi:}\) \(\displaystyle{ F:=\{(x,y) \in I\times J\ : \ p(x) = q(y)\} = \{(x,y)\in I\times J \ : \ y = \varphi(x)\}.}\)
Jest to domknięty podzbiór \(\displaystyle{ I\times J}\) którego składowymi spójnymi są odcinki nachylone do osi X pod kątem\(\displaystyle{ \pm \tfrac{\pi}{4}.}\)
Z dyfeomorficzności \(\displaystyle{ \varphi}\) (która pociąga otwartość tego odwzorowania) i domkniętości \(\displaystyle{ F}\) wynika, że końce odcinka \(\displaystyle{ S}\) będącego składową spójną \(\displaystyle{ F}\) muszą należeć do brzegu \(\displaystyle{ I\times J:}\)
jeśli bowiem \(\displaystyle{ (x,y) \in S \setminus \partial(I\times J),}\) to \(\displaystyle{ (x,y)\in I\times J}\) więc \(\displaystyle{ y \in \varphi(I)}\) i z otwartości zbiorów \(\displaystyle{ I,\varphi(I)\subset \mathbb{R}}\) wynika, że istnieją \(\displaystyle{ a,b > 0}\) takie, że \(\displaystyle{ (y - b, y + b)\subset \varphi((x - a, x + a))}\) zatem \(\displaystyle{ y}\) nie może być końcem odcinka \(\displaystyle{ S.}\)
Ponieważ \(\displaystyle{ F}\) jest wykresem bijekcji określonej na pewnym podzbiorze \(\displaystyle{ I}\), to stąd już wynika, że liczba odcinków będących składowymi spójnymi \(\displaystyle{ F}\) nie przewyższa 2, a ponadto jeśli jest równa dwa, to oba te odcinki muszą być nachylone do osi X pod tym samym kątem.
Zauważmy jeszcze, że \(\displaystyle{ F}\) jako wykres homeomorfizmu \(\displaystyle{ \varphi: q^{-1}(W)\to p^{-1}(W)}\) jest homoemorficzny z \(\displaystyle{ p^{-1}(W),}\) co z kolei na mocy homoemorficzności \(\displaystyle{ p}\) jest homeomorficzne z \(\displaystyle{ W.}\)
Jeśli więc \(\displaystyle{ W}\) ma jedną składową spójną, to \(\displaystyle{ F}\) składa się z jednego odcinka i \(\displaystyle{ \varphi}\) przedłuża się do funkcji liniowej \(\displaystyle{ L:\mathbb{R}\to\mathbb{R}}\) co pozwala zdefiniować parametryzację: \(\displaystyle{ P:I\cup L^{-1}(J)\to U\cup V}\)
jako: \(\displaystyle{ P(x)=\begin{cases} p(x), \ x\in I\\ q(L(x)), \ x\in L^{-1}(J)\end{cases}}\)
Odnotujmy, że \(\displaystyle{ P}\) jest poprawnie określonym różniczkowalnym homeomorfizmem o rzędzie różniczki równym 1:
Rzeczywiście jeśli \(\displaystyle{ x\in I\cap L^{-1}(J),}\) to \(\displaystyle{ (x, L(x))\in F}\) czyli \(\displaystyle{ L(x) =\varphi(x)}\) zatem \(\displaystyle{ q(L(x)) = q(\varphi(x)) = p(x).}\)
Ponadto odwzorowania \(\displaystyle{ p, q\circ L}\) są homeomorfizmami różniczkowalnymi na otwartych zbiorach odpowiednio \(\displaystyle{ I, L^{-1}(J)}\) i mają rząd różniczki \(\displaystyle{ 1.}\)
W szczególności \(\displaystyle{ P}\) jest ciągłe i otwarte, a ponieważ jest w oczywisty sposób surjekcją i jak łatwo sprawdzić również injekcją (\(\displaystyle{ p(x) = q(L(y)) \Rightarrow L(x) = \varphi(x) = L(y) \Rightarrow x = y}\)), to \(\displaystyle{ P}\) jest homemorfizmem i przyjmując \(\displaystyle{ \widetilde{I} := I\cup L^{-1}(J)}\) możemy zakończyć dowód pierwszej części lematu.
Jeśli natomiast \(\displaystyle{ W}\) ma dwie składowe spójne, to \(\displaystyle{ F}\) składa się z dwóch odcinków nachylonych jednocześnie albo pod kątem \(\displaystyle{ \tfrac{\pi}{4},}\) albo \(\displaystyle{ -\tfrac{\pi}{4}.}\)
Dla uproszczenia rozpatrzymy pierwszy przypadek, drugi jest analogiczny.
Przyjmijmy: \(\displaystyle{ I = (a, d), \ J= (\gamma,\beta)}\)
oraz niech odcinki \(\displaystyle{ [(a,\alpha), (b,\beta)]}\) i \(\displaystyle{ [(c, \gamma), (d,\delta)]}\) gdzie \(\displaystyle{ \gamma <\delta \le \alpha < \beta}\) i \(\displaystyle{ a < b \le c < d}\)
będą składowymi spójnymi \(\displaystyle{ F.}\)
Przyjmując ewentualnie \(\displaystyle{ J' = (c,c + \beta - \gamma)}\) oraz \(\displaystyle{ \widetilde{q}(x) = q(x - c + \gamma)}\) i zastępując \(\displaystyle{ J,q}\) przez odpowiednio \(\displaystyle{ J', \widetilde{q}}\) możemy bez straty ogólności przyjąć, że \(\displaystyle{ c = \gamma.}\) Wówczas \(\displaystyle{ d = \delta}\) i mamy: \(\displaystyle{ a < b \le c < d \le \alpha < \beta.}\)
Odpowieni dyfeomorfizm \(\displaystyle{ \psi:S^{1}\to M}\) dany jest wtedy przez zależności: \(\displaystyle{ \psi\left(\cos\left(\frac{2\pi (x - a)}{\beta - a}\right), \sin\left(\frac{2\pi (x - a)}{\beta - a}\right)\right) = \begin{cases}p(x), \ x\in I = (a,d),\\ q(x), \ x\in J = (c,\beta) \end{cases}}\)
(\(\displaystyle{ \psi(S^{1})}\) jest wówczas niepustym zbiorem otwarto-domkniętym w \(\displaystyle{ M,}\) zatem ze spójności \(\displaystyle{ M}\) wynika \(\displaystyle{ \psi(S^{1}) = M}\) czyli \(\displaystyle{ \psi}\) jest surjekcją. Injektywność i obustronna różniczkowalność \(\displaystyle{ \psi}\) są natychmiastowe).
Dowód twierdzenia:
Z lematu Kuratowskiego-Zorna wynika, że istnieje łukowa parametryzacja \(\displaystyle{ p:I\to U\subset M}\) maksymalna w tym sensie, że dla dowolnej łukowej parametryzacji \(\displaystyle{ q:J\to V\subset M}\) spełniającej \(\displaystyle{ J\supset I}\) oraz \(\displaystyle{ q|_{I} = p}\) jest \(\displaystyle{ p = q.}\)
Jeśli \(\displaystyle{ M}\) nie jest dyfeomorficzna z okręgiem, to z lematu 2. wynika, że \(\displaystyle{ p}\) jest surjekcją:
inaczej znaleźlibyśmy parametryzację \(\displaystyle{ q:J\to V\subset M}\) taką, że \(\displaystyle{ q(J) = V}\) oraz \(\displaystyle{ V\cap (M\setminus U) \neq \varnothing}\); przyjmując \(\displaystyle{ \widetilde{q} = q\circ \varphi,}\) gdzie \(\displaystyle{ \varphi}\) jest jak w lemacie 1. zastosowanym dla parametryzacji \(\displaystyle{ q}\) otrzymujemy parametryzację łukową \(\displaystyle{ \widetilde{q}:\widetilde{J}\to V,}\) a więc z lematu 2. wynika, że istnieje przedłużenie \(\displaystyle{ P:\widetilde{I}\to U\cup V}\) parametryzacji \(\displaystyle{ p,}\) takie, że \(\displaystyle{ P(\widetilde{I}) = U\cup V}\); ponieważ \(\displaystyle{ U\subsetneq U\cup V,}\) to otrzymujemy sprzeczność z maksymalnością \(\displaystyle{ p}\).
A więc \(\displaystyle{ M}\) jest dyfeomorficzna z odcinkiem otwartym \(\displaystyle{ I,}\) który jest dyfeomorficzny z \(\displaystyle{ (0,1)}\) co kończy dowód.
Wniosek 1 (Klasyfikacja podrozmaitości różniczkowalnych \(\displaystyle{ \mathbb{R}^{n}}\) wymiaru 1):
Niech \(\displaystyle{ M}\) będzie podrozmaitością \(\displaystyle{ \mathbb{R}^{n}}\) klasy \(\displaystyle{ \mathcal{C}^{1}}\) wymiaru 1. Wówczas \(\displaystyle{ M = \bigcup_{n=1}^{N_{1}}A_{1,n} \cup \bigcup_{n=1}^{N_{2}}A_{2,n}}\)
dla pewnych: \(\displaystyle{ N_{i}\in \{0,1,2,\ldots\}\cup\{\infty\}, \ i=1,2, \ N_{1} + N_{2} > 0}\) \(\displaystyle{ A_{i,j}}\) - podrozmaitości \(\displaystyle{ \mathbb{R}^{n}}\) klasy \(\displaystyle{ \mathcal{C}^{1}}\) takich, że:
(i)istnieją zbiory otwarte \(\displaystyle{ A_{i,j}\subset \Omega_{i,j}\subset\mathbb{R}^{n}}\) takie, że \(\displaystyle{ \Omega_{i,j}\cap\Omega_{k,l} = \varnothing}\) dla \(\displaystyle{ (i,j)\neq (k,l)}\)
(ii)\(\displaystyle{ \forall_{n}\, A_{1,n}}\) jest dyfeomorficzna z \(\displaystyle{ S^{1},}\) a \(\displaystyle{ A_{2,n}}\) jest dyfeomorficzna z \(\displaystyle{ (0,1)}\)
Ponadto \(\displaystyle{ M}\) jest zwarta wtedy i tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ N_{1}<\infty, \ N_{2} = 0.}\)
Dowód:
Ponieważ \(\displaystyle{ \mathbb{R}^{n}}\) jest ośrodkowa, to \(\displaystyle{ M}\) ma (co najwyżej) przeliczalnie wiele składowych spójnych. Oczywiście każda z nich jako otwarty podzbiór podrozmaitości jest podrozmaitością. Ze spójności i twierdzenia wynika, że każda z nich jest dyfeomorficzna z \(\displaystyle{ S^{1}}\) bądź \(\displaystyle{ (0,1)}\) i możemy je pogrupować w rodzinę \(\displaystyle{ \{A_{i,n}\}_{i,n}}\) aby była spełniona teza.
Druga część tezy jest natychmiastowym wnioskiem z pierwszej części, zwartości \(\displaystyle{ S^{1},}\) braku zwartości \(\displaystyle{ (0,1),}\) definicji zwartości i faktu, iż składowe spójne są podzbiorami otwarto-domkniętymi.
Wniosek 2 (Orientowalność krzywych) Niech \(\displaystyle{ M}\) będzie podrozmaitością \(\displaystyle{ \mathbb{R}^{n}}\) klasy \(\displaystyle{ \mathcal{C}^{1}}\) wymiaru 1. Wówczas \(\displaystyle{ M}\) jest orientowalna.
Dowód:
Rozmaitość jest orientowalna wtedy i tylko wtedy, gdy każda z jej składowych spójnych jest orientowalna, więc, ponieważ orientowalność jest niezmiennikiem dyfeomorfizmów, to na mocy twierdzenia wystarczy ograniczyć się do przypadku \(\displaystyle{ M \in \{S^{1}, (0,1)\}.}\) Przypadek \(\displaystyle{ M = (0,1)}\) jest oczywisty, gdyż \(\displaystyle{ (0,1)}\) jest otwartym podzbiorem prostej rzeczywistej, która jest orientowalna.
Natomiast jeśli \(\displaystyle{ M = S^{1},}\) to mamy dwie lokalne parametryzacje: \(\displaystyle{ p_{1}: (0,2\pi)\ni \theta\mapsto (\cos\theta,\sin\theta)\in S^{1}\setminus \{(1,0)\}\\
p_{2}:(-\pi, \pi)\ni \theta \mapsto (\cos\theta, \sin\theta)\in S^{1}\setminus \{(-1,0)\}}\)
i jak łatwo się przekonać: \(\displaystyle{ p_{2}^{-1}\circ p_{1}(t) = \begin{cases}t,\ t\in (0,\pi)\\ t-2\pi, \ t\in (\pi, 2\pi)\end{cases}\\
p_{1}^{-1}\circ p_{2}(t) = \begin{cases}t + 2\pi, \ t \in (-\pi, 0), \\ t, \ t\in (0,\pi)\end{cases}}\)
a wyznaczniki różniczek tych odwzorowań są stale równe \(\displaystyle{ 1 > 0.}\)
Ćwiczenie: Sformułuj i udowodnij uogólnienia powyższych wyników na przypadek jednowymiarowych rozmaitości różniczkowalnych z brzegiem.
Bibliografia:
J. Milnor: Topology from differentiable viewpoint.
Może komuś się dziwnym trafem przyda, tak jak mi (być może) na egzamin z analizy.