Jeżeli ciąg \(\displaystyle{ (a_{n})}\) ma granicę niewłaściwą oraz \(\displaystyle{ a_{n}\neq 0}\) dla \(\displaystyle{ n=1,2,3,...}\), to \(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\frac{1}{a_{n}}=0}\).
Dowód:
Jeżeli \(\displaystyle{ a_{n}\rightarrow+\infty}\), to dla każdego \(\displaystyle{ \varepsilon>0}\) istnieje \(\displaystyle{ N_{1}>0}\), takie że \(\displaystyle{ a_{n}>\frac{1}{\varepsilon}}\) dla \(\displaystyle{ n>N_{1}}\).
Jeżeli \(\displaystyle{ a_{n}\rightarrow-\infty}\), to dla każdego \(\displaystyle{ \varepsilon>0}\) istnieje \(\displaystyle{ N_{2}>0}\), takie że \(\displaystyle{ a_{n}< \frac{1}{\varepsilon }}\) dla \(\displaystyle{ n> N_{2}}\).
W każdym więc przypadku mamy \(\displaystyle{ |a_{n}|>\frac{1}{\varepsilon}}\) dla \(\displaystyle{ n>N}\), gdzie \(\displaystyle{ N=\max \{N_{1},N_{2}\}}\). Zatem dla \(\displaystyle{ n>N}\) mamy kolejno: \(\displaystyle{ \left|\frac{1}{a_{n}}\right| < \varepsilon}\), czyli \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty}\frac{1}{a_{n}} =0}\).
\(\displaystyle{ \blacksquare}\)
Dowód uszkodzony podczas zmiany silnika forum został naprawiony przez użytkownika Ponewor.