luka52 pisze: ↑30 lip 2008, o 22:39
Jak widać stosując zaprezentowaną metodę w praktyce nie zawsze oszczędzamy czas, jednak pomimo tego wydaje mi się ona godna zapamiętania - nawet jako ciekawostka
Można tę metodę tak zoptymalizować aby była ona równie szybka co rozkład na sumę ułamków prostych
\(\displaystyle{ \int{\frac{P\left( x\right) }{Q\left( x\right) }\mbox{d}x}=\frac{P_{1}\left( x\right)}{Q_{1}\left( x\right)}+\int{\frac{P_{2}\left( x\right) }{Q_{2}\left( x\right) }\mbox{d}x}}\)
Zakładamy też że
\(\displaystyle{ Q_{1}\left( x\right) }\) nie jest wielomianem stopnia zerowego
Rozpiszmy trochę powyższą równość
\(\displaystyle{ \int{\frac{P\left( x\right) }{Q\left( x\right) }\mbox{d}x}=\frac{P_{1}\left( x\right)}{Q_{1}\left( x\right)}+\int{\frac{P_{2}\left( x\right) }{Q_{2}\left( x\right) }\mbox{d}x}}\)
\(\displaystyle{ \deg P\left( x\right) < \deg Q\left( x\right)\\
\deg P_{1}\left( x\right) < \deg Q_{1}\left( x\right)\\
\deg P_{2}\left( x\right) < \deg Q_{2}\left( x\right)\\
Q_{1}\left( x\right) = \mathrm{GCD}\left(Q\left( x\right),Q'\left( x\right) \right) \\
Q\left( x\right)= Q_{1}\left( x\right)Q_{2}\left( x\right)
}\)
Jeżeli mamy podany rozkład mianownika
\(\displaystyle{ Q\left( x\right) }\) na czynniki
to mianowniki
\(\displaystyle{ Q_{1}\left( x\right) }\) oraz
\(\displaystyle{ Q_{2}\left( x\right) }\)
dość łatwo znajdziemy korzystając z tego rozkładu na czynniki
Jeżeli nie mamy podanego rozkładu mianownika
\(\displaystyle{ Q\left( x\right) }\) na czynniki
to musimy się bawić z braniem reszt z kolejnych dzieleń
ale i tak nie jest to bardziej czasochłonne niż rozkład na czynniki
\(\displaystyle{ \frac{d}{dx}\left(\int{\frac{P\left( x\right) }{Q\left( x\right) }\mbox{d}x} \right)=\frac{d}{dx}\left(\frac{P_{1}\left( x\right)}{Q_{1}\left( x\right)}+\int{\frac{P_{2}\left( x\right) }{Q_{2}\left( x\right) }\mbox{d}x} \right) \\
\frac{d}{dx}\left(\int{\frac{P\left( x\right) }{Q\left( x\right) }\mbox{d}x} \right)=\frac{d}{dx}\frac{P_{1}\left( x\right)}{Q_{1}\left( x\right)}+ \frac{d}{dx}\left( \int{\frac{P_{2}\left( x\right) }{Q_{2}\left( x\right) }\mbox{d}x}\right) \\
\frac{P\left( x\right) }{Q\left( x\right) } = \frac{P_{1}'\left( x\right)Q_{1}\left( x\right)-P_{1}\left( x\right)Q_{1}'\left( x\right) }{Q_{1}^2\left( x\right) } + \frac{P_{2}\left( x\right) }{Q_{2}\left( x\right) }\\
\frac{P\left( x\right) }{Q\left( x\right) } =\frac{P_{1}'\left( x\right)Q_{1}\left( x\right)Q_{2}\left( x\right)-P_{1}\left( x\right)Q_{1}'\left( x\right)Q_{2}\left( x\right)+Q_{1}^2\left( x\right)P_{2}\left( x\right) }{Q_{1}^2\left( x\right)Q_{2}\left( x\right)}\\
\frac{P\left( x\right) }{Q\left( x\right) } =\frac{P_{1}'\left( x\right)Q_{1}\left( x\right)Q_{2}\left( x\right)-P_{1}\left( x\right)Q_{1}'\left( x\right)Q_{2}\left( x\right)+Q_{1}^2\left( x\right)P_{2}\left( x\right) }{Q\left( x\right) Q_{1}\left( x\right)}\\
\frac{P\left( x\right) }{Q\left( x\right) } = \frac{Q_{1}\left( x\right)\left(P_{1}'\left( x\right)Q_{2}\left( x\right)- P_{1}\left( x\right) \cdot \frac{Q_{2}\left( x\right)Q_{1}'\left( x\right)}{Q_{1}\left( x\right)} + P_{2}\left( x\right)Q_{1}\left( x\right)\right) }{Q_{1}\left( x\right)Q\left( x\right)} \\
}\)
Niech
\(\displaystyle{ H\left( x\right) = \frac{Q_{2}\left( x\right)Q_{1}'\left( x\right) }{Q_{1}\left( x\right) } }\)
Można pokazać że
\(\displaystyle{ H\left( x\right) }\) zawsze będzie wielomianem
\(\displaystyle{
\frac{P\left( x\right) }{Q\left( x\right) } = \frac{Q_{1}\left( x\right)\left(P_{1}'\left( x\right)Q_{2}\left( x\right)- P_{1}\left( x\right)H\left( x\right) + P_{2}\left( x\right)Q_{1}\left( x\right)\right) }{Q_{1}\left( x\right)Q\left( x\right)} \\
\frac{P\left( x\right) }{Q\left( x\right) } =\frac{P_{1}'\left( x\right)Q_{2}\left( x\right)- P_{1}\left( x\right)H\left( x\right) + P_{2}\left( x\right)Q_{1}\left( x\right)}{Q\left( x\right)}\\
P\left( x\right) = P_{1}'\left( x\right)Q_{2}\left( x\right)- P_{1}\left( x\right)H\left( x\right) + P_{2}\left( x\right)Q_{1}\left( x\right)
}\)
W skrócie
Zakładamy że całka jest w postaci
\(\displaystyle{ \int{\frac{P\left( x\right) }{Q\left( x\right) }\mbox{d}x}=\frac{P_{1}\left( x\right)}{Q_{1}\left( x\right)}+\int{\frac{P_{2}\left( x\right) }{Q_{2}\left( x\right) }\mbox{d}x}}\)
gdzie
\(\displaystyle{
\deg P\left( x\right) < \deg Q\left( x\right)\\
\deg P_{1}\left( x\right) < \deg Q_{1}\left( x\right)\\
\deg P_{2}\left( x\right) < \deg Q_{2}\left( x\right)\\
}\)
Obliczamy mianowniki oraz pomocniczy wielomian
\(\displaystyle{
Q_{1}\left( x\right) = \mathrm{GCD}\left(Q\left( x\right),Q'\left( x\right) \right) \\
Q\left( x\right)= Q_{1}\left( x\right)Q_{2}\left( x\right)\\
Q_{2}\left( x\right)Q_{1}'\left( x\right)=Q_{1}\left( x\right)H\left( x\right)
}\)
Za współczynniki liczników
\(\displaystyle{ L_{1}\left( x\right) }\) oraz
\(\displaystyle{ L_{2}\left( x\right) }\)
obieramy współczynniki literowe i wstawiamy je do równości
\(\displaystyle{ P\left( x\right) = P_{1}'\left( x\right)Q_{2}\left( x\right)- P_{1}\left( x\right)H\left( x\right) + P_{2}\left( x\right)Q_{1}\left( x\right)}\)
Stąd po porównaniu współczynników przy wielomianach bądź po wstawieniu za x ulubionych wartości
dostaniemy układ równań w postaci Cramera