Matematyka.pl

Rozważmy ciąg \(\displaystyle{ x_{n,k}}\), taki że

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} x_{n,0} = a, \\
\lim_{n \to \infty} x_{n,n} = b, \\
\lim_{n \to \infty} x_{n,k+1} - x_{n,k} = 0.}\)
Przykładem takiego ciągu może być

\(\displaystyle{ x_{n,k} = a + \frac{k(b-a)}{n}.}\)

Rozważmy teraz wykres funkcji na przedziale \(\displaystyle{ [a,b]}\), podzielmy ten wycinek na osi odciętych na \(\displaystyle{ n}\) części. Na każdym z odcinków budujemy prostokąt o wysokości równej wartości funkcji w którymś z punktów odcinka. Sumując pola wszystkich prostokątów dostaniemy w przybliżeniu pole pod wykresem funkcji; wartość będzie tym dokładniejsza, im większe \(\displaystyle{ n}\) weźmiemy. Przechodząc z \(\displaystyle{ n}\) do nieskończoności dostaniemy wartość tego pola (o ile wraz z \(\displaystyle{ n}\) długość każdego z odcinków zbiega do zera). Wobec tego pole pod wykresem funkcji jest równe

\(\displaystyle{ \mbox{S} = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} f(\xi_{n,k}) (x_{n,k} - x_{n,k-1}),}\)
gdzie \(\displaystyle{ x_{n,k-1} \le \xi_{n,k} \le x_{n,k}.}\)
Pokażemy, że jest to tożsame z

\(\displaystyle{ \mbox{S} = F(b) - F(a),}\)

gdzie \(\displaystyle{ F(x)}\) to funkcja pierwotna \(\displaystyle{ f(x)}\).

\(\displaystyle{ F(b) - F(a) = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} F(x_{n,k}) - F(x_{n,k-1}) = \\ \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{F(x_{n,k}) - F(x_{n,k-1}) }{x_{n,k} - x_{n,k-1}} \cdot (x_{n,k} -x_{n,k-1}).}\)

Rozważmy teraz ciąg \(\displaystyle{ \xi_{n,k}}\), taki że \(\displaystyle{ x_{n,k-1} \leqslant \xi_{n,k} \leqslant x_{n,k}.}\)

Na mocy twierdzenia Lagrange'a (wybieramy akurat taki ciąg, by zachodziło to, co poniżej)

\(\displaystyle{ \frac{F(x_{n,k}) - F(x_{n,k-1}) }{x_{n,k} - x_{n,k-1}} = F'(\xi_{n,k}) = f(\xi_{n,k}).}\)

Mamy więc

\(\displaystyle{ F(b) - F(a) = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} f(\xi_{n,k}) (x_{n,k} - x_{n,k-1}) = \mbox{S}. \ \blacksquare}\)