Ułamki łańcuchowe

Zbiór wzorów, definicji i najczęściej poruszanych problemów z Algebry.
Awatar użytkownika
mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8729
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 2779 razy
Pomógł: 703 razy

Ułamki łańcuchowe

Post autor: mol_ksiazkowy »

Ułamkiem łańcuchowym (bądź też ciągłym) nazywa się wyrażenie:

\(\displaystyle{ b_0+ \frac{a_1}{b_1+ \frac{a_2}{b_2+ \frac{a_3}{b_3+...}}}}\), gdzie ułamki \(\displaystyle{ \frac{a_j}{b_j} }\)\(\displaystyle{ j }\) tym ogniwem tego ułamka łańcuchowego, przy czym liczby te są całkowite i \(\displaystyle{ b_j \neq 0 }\).
Ułamek łańcuchowy jest skończony jeśli ciąg ogniw jest skończony.
Można też rozważać uogólnione ułamki łańcuchowe, tj. takie, gdzie \(\displaystyle{ a_j }\) i \(\displaystyle{ b_j }\) nie muszą być całkowite.


Reduktem rzędu \(\displaystyle{ n }\) jest ułamek łańcuchowy skończony \(\displaystyle{ b_0+ \frac{a_1}{b_1+ \frac{a_2}{b_2+ \frac{a_3}{b_3+... \ \ \ \\ ... \\ \ \ \ + \frac{a_n}{b_n} }}} = \frac{P_n}{Q_n}}\).
Ułamek łańcuchowy nieskończony jest równy \(\displaystyle{ \lim \frac{P_n}{Q_n} }\).

Jeśli przyjąć, że
\(\displaystyle{ \begin{cases} P_0=b_0 \\ Q_0 = 1 \\ P_{-1} = 1 \\ Q_{-1} = 0 \end{cases} }\)
to istnieje rekurencja:
\(\displaystyle{ \begin{cases} P_n = b_n P_{n-1}+ a_nP_{n-2} \\ Q_n = b_nQ_{n-1}+ a_nQ_{n-2} \end{cases} }\)
dla \(\displaystyle{ n = 1,2,3,... }\)

Różnica kolejnych reduktów: \(\displaystyle{ \frac{P_n}{Q_n} - \frac{P_{n-1}}{Q_{n-1}} = (-1)^{n+1} \frac{a_1...a_n}{Q_{n-1} Q_n} }\) dla \(\displaystyle{ n = 1,2,3,... }\)


Przykład

\(\displaystyle{ (\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1) = 1 }\) czyli \(\displaystyle{ \sqrt{2}= 1 + \frac{1}{ \sqrt{2}+ 1} = 1+\frac{1}{1+ 1 + \frac{1}{ \sqrt{2}+ 1}} = 1+ \frac{1}{2 + \frac{1}{ \sqrt{2}+ 1}} =... }\)


Liczby niewymierne mają jednoznaczne przedstawienie jako nieskończone ułamki łańcuchowe, np. \(\displaystyle{ e= 2+ \frac{2}{2+ \frac{3}{3+ \frac{4}{4 +...}}} }\)
(Euler)



Przykład
\(\displaystyle{ \frac{19}{7} = 2+ \frac{5}{7} = 2+ \frac{1}{\frac{7}{5}} = 2+ \frac{1}{1+ \frac{2}{5}}}\)


Jeśli \(\displaystyle{ a_j = 1 }\) dla wszystkich \(\displaystyle{ j }\), to taki ułamek łańcuchowy nazywa się arytmetycznym. Takie ułamki można przedstawić w formie \(\displaystyle{ [b_0; b_1, b_2, b_3,...] }\); np. \(\displaystyle{ \sqrt{2} =[1; 2,2,2,...] }\)


Kod: Zaznacz cały

https://pl.frwiki.wiki/wiki/Fraction_continue
W. Ł. Daniłow - Funkcje, granice, szeregi, ułamki łańcuchowe


--> Słowa kluczowe: redukt; ogniwo, przybliżenie Padégo, algorytm Euklidesa, metody Wisowatowa i Appela, algorytm Euklidesa, reguła najlepszego przybliżenia, twierdzenie Stolza, notacje Pringsheima, Mullera, Rogersa.
ODPOWIEDZ