Łańcuch Sturma

Zbiór wzorów, definicji i najczęściej poruszanych problemów z Algebry.
Awatar użytkownika
mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 11265
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 3143 razy
Pomógł: 747 razy

Łańcuch Sturma

Post autor: mol_ksiazkowy »

Twierdzenie Sturma
Jest to sposób określania ilości pierwiastków rzeczywistych wielomianu \(\displaystyle{ W(x)}\) w zbiorze \(\displaystyle{ <a, b>}\) gdzie \(\displaystyle{ a<b}\) oraz
\(\displaystyle{ W(a) \neq 0}\) i \(\displaystyle{ W(b) \neq 0}\) przy założeniu, że te pierwiastki są różne.
(tj. jeśli \(\displaystyle{ W(x)= (x-x_0)^k V(x)}\) i \(\displaystyle{ V}\) jest wielomianem, a \(\displaystyle{ x_0}\) jest pierwiastkiem wielomianu \(\displaystyle{ W}\) to \(\displaystyle{ k=1}\)).

Określa się tzw. łańcuch Sturma:
\(\displaystyle{ W(x), \ W^{\prime}(x) , \ W_1(x), \ W_2(x) , \ … \ , W_m(x) = const}\)
gdzie \(\displaystyle{ W_1(x)}\) jest resztą z dzielenia \(\displaystyle{ W(x)}\) przez \(\displaystyle{ W^{\prime} (x)}\) (ale ze znakiem przeciwnym), następnie \(\displaystyle{ W_2(x)}\) jest resztą z dzielenia \(\displaystyle{ W^{\prime} (x)}\) przez \(\displaystyle{ W_1(x)}\) (ale ze znakiem przeciwnym) ... itd.

Następnie zestawia się je:
\(\displaystyle{ \begin{cases}W(a), \ W^{\prime}(a), \ W_1(a), …, \ W_m(a) \\ W(b), \ W^{\prime}(b), \ W_1(b), … , \ W_m(b) \end{cases}}\)
wyznaczając \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\): są to ilości zmian znaków (z plus na minus lub z minus na plus) dla obydwu tych ciągów (zera są pomijane); Wyrażenie \(\displaystyle{ |A-B|}\) jest równe ilości miejsc zerowych wielomianu \(\displaystyle{ W}\) w przedziale \(\displaystyle{ <a, b>}\).

Przykład
Ile miejsc zerowych ma wielomian \(\displaystyle{ W(x) = x^3 - 6x+2}\) w przedziale \(\displaystyle{ <0, 5>}\) ?

Rozwiązanie
łańcuch Sturma:
\(\displaystyle{ x^3 - 6x+ 2 , \ 3x^2 - 6 , \ 4x - 3 , \ \frac{69}{16}}\)
tj. gdy
\(\displaystyle{ x=a=0}\): \(\displaystyle{ 2, \ -6, \ -3, \ \frac{69}{16}}\) tj. \(\displaystyle{ \ A=2}\)
\(\displaystyle{ x=b=5}\): \(\displaystyle{ 97, \ 69, \ 17, \ \frac{69}{16}}\) tj. \(\displaystyle{ \ B=0}\)

czyli wielomian \(\displaystyle{ W}\) ma w tym przedziale \(\displaystyle{ A-B=2}\) miejsca zerowe.

Uwagi:
Nietrudno jest zauważyć, że \(\displaystyle{ W}\) ma trzy pierwiastki (miejsca zerowe) rzeczywiste \(\displaystyle{ x_1, x_2, x_3}\); przy czym jeden z nich jest ujemny (\(\displaystyle{ x_3= - x_1 - x_2<0}\); wzory Viety) a dwa z nich tj. \(\displaystyle{ x_1}\) i \(\displaystyle{ x_2}\) są w przedziale \(\displaystyle{ <0,5>}\) ( \(\displaystyle{ 0< x_1< 1}\) ; \(\displaystyle{ 2< x_1< 3}\)).

rys.


Uwagi:
Twierdzenie to można stosować też dla wielomianów mających pierwiastki wielokrotne, z tym że wtedy \(\displaystyle{ W}\) dzieli się przez \(\displaystyle{ NWD(W, W^{\prime})}\) co daje wielomian o tych samych pierwiastkach jak \(\displaystyle{ W}\) ale już jednokrotnych.
Np. gdy \(\displaystyle{ W(x)=x^5 - 3x^4+3x^3 - x^2 =x^2(x-1)^3}\) to \(\displaystyle{ W^{\prime}(x)= x(x-1)^2(5x-2)}\) dzieląc \(\displaystyle{ W(x)}\) przez \(\displaystyle{ x(x-1)^2}\) jest wielomian \(\displaystyle{ x(x-1)}\) itp.

Aby obliczyć ilość wszystkich miejsc zerowych wielomianu \(\displaystyle{ W(x)= \sum_{j} a_jx^j}\) można też tą metodą np. w przedziale \(\displaystyle{ <-M, M>}\) gdy \(\displaystyle{ M=1+ \sum_{j} |a_j|}\).

Znaczenie metody: jest ona jedną z metod przybliżonego rozwiązywania równań (przez wstępne wyznaczenie przedziałów, w których one są). Następnie można lepiej przybliżać te pierwiastki przez inne metody numeryczne; np. metodę stycznych (Newtona) itp.
Ukryta treść:    
ODPOWIEDZ