Zwarta postać funkcji tworzącej ciągu sum częściowych
-
- Użytkownik
- Posty: 7
- Rejestracja: 9 sty 2023, o 19:27
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 20
- Podziękował: 2 razy
Zwarta postać funkcji tworzącej ciągu sum częściowych
Witam, mam zadanie z sześcioma podpunktami na temat funkcji tworzących. Połowa podpunktów brzmi "Podaj zwartą postać funkcji tworzącej ciągu, a druga połowa brzmi "Podaj zwartą postać funkcji tworzącej ciągu sum częściowych". Z tym pierwszym poleceniem nie mam żadnego problemu. Po prostu podstawiam pod \(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{ \infty }a_{n}*x^n }\) mój ciąg podany w poleceniu i rozwijając moją sume i zauważając różne zależności wyprowadzam zwartą postać funkcji tworzącej. Problem tkwi z drugą częścią polecenia, gdzie muszę wyznaczyć funkcję tworzącą ciągu sum częściowych. Nie rozumiem za bardzo jak mam to zrobić. Jakiś przykład:
Podaj funkcję tworzącą ciągu sum częściowych ciągu \(\displaystyle{ a_{n} = n+2 ,n \ge 0 }\). Będę wdzięczny za pomoc
Podaj funkcję tworzącą ciągu sum częściowych ciągu \(\displaystyle{ a_{n} = n+2 ,n \ge 0 }\). Będę wdzięczny za pomoc
- arek1357
- Użytkownik
- Posty: 5703
- Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: blisko
- Podziękował: 129 razy
- Pomógł: 524 razy
Re: Zwarta postać funkcji tworzącej ciągu sum częściowych
\(\displaystyle{ f(x)= \sum_{n=0}^{ \infty } (n+2)x^n= \sum_{n=0}^{ \infty } nx^n +2 \cdot \sum_{n=0}^{ \infty } x^n }\)
\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{ \infty } nx^n =x \cdot \left( \sum_{n=0}^{ \infty } x^n\right)' }\)
Dalej sobie poradzisz...
\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{ \infty } nx^n =x \cdot \left( \sum_{n=0}^{ \infty } x^n\right)' }\)
Dalej sobie poradzisz...
- arek1357
- Użytkownik
- Posty: 5703
- Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: blisko
- Podziękował: 129 razy
- Pomógł: 524 razy
Re: Zwarta postać funkcji tworzącej ciągu sum częściowych
aaaaaaaaaaaaaa
Dodano po 7 minutach 48 sekundach:
Tylko tam się zaczyna od zera więc wnioskuję,że:
\(\displaystyle{ b_{n}=a_{0}+a_{1}+a_{2}+...+a_{n} }\)
Więc bez ceregieli:
\(\displaystyle{ b_{n}=2+3+4+...+(n+2)= \frac{(n+1)(n+4)}{2} = \frac{1}{2} n^2+ \frac{5}{2}n+2}\)
Dalej chyba proste
Dodano po 6 minutach 23 sekundach:
\(\displaystyle{ \sum_{}^{} n^2x^n=x\left[ x \left( \sum_{}^{} x^n\right)' \right]' }\)
Dodano po 7 minutach 48 sekundach:
Tylko tam się zaczyna od zera więc wnioskuję,że:
\(\displaystyle{ b_{n}=a_{0}+a_{1}+a_{2}+...+a_{n} }\)
Więc bez ceregieli:
\(\displaystyle{ b_{n}=2+3+4+...+(n+2)= \frac{(n+1)(n+4)}{2} = \frac{1}{2} n^2+ \frac{5}{2}n+2}\)
Dalej chyba proste
Dodano po 6 minutach 23 sekundach:
\(\displaystyle{ \sum_{}^{} n^2x^n=x\left[ x \left( \sum_{}^{} x^n\right)' \right]' }\)
-
- Użytkownik
- Posty: 7
- Rejestracja: 9 sty 2023, o 19:27
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 20
- Podziękował: 2 razy
Re: Zwarta postać funkcji tworzącej ciągu sum częściowych
Czyli teraz, ten ciąg sum częściowych \(\displaystyle{ b_{n}}\) stanowi mój nowy ciąg, którego używam do wyznaczenia funkcji tworzącej, dobrze rozumiem? Powinienem teraz podstawić go tylko do definicji funkcji tworzącej,tak jak to opisałem w poście?
- Mariusz M
- Użytkownik
- Posty: 6903
- Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 1246 razy
Re: Zwarta postać funkcji tworzącej ciągu sum częściowych
Aby wyznaczyć funkcję tworzącą ciągu sum częściowych możemy
1) zapisać tę sumę w postaci równania rekurencyjnego i do tego równania rekurencyjnego zastosować funkcję tworzącą
2) spleść dany ciąg z ciągiem jedynek
1) zapisać tę sumę w postaci równania rekurencyjnego i do tego równania rekurencyjnego zastosować funkcję tworzącą
2) spleść dany ciąg z ciągiem jedynek