Zwarta postać funkcji tworzącej ciągu sum częściowych

Permutacje. Kombinacje. Wariacje. Rozmieszczanie kul w urnach. Silnie i symbole Newtona. Przeliczanie zbiorów. Funkcje tworzące. Teoria grafów.
Pucio_
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7
Rejestracja: 9 sty 2023, o 19:27
Płeć: Mężczyzna
wiek: 20
Podziękował: 2 razy

Zwarta postać funkcji tworzącej ciągu sum częściowych

Post autor: Pucio_ »

Witam, mam zadanie z sześcioma podpunktami na temat funkcji tworzących. Połowa podpunktów brzmi "Podaj zwartą postać funkcji tworzącej ciągu, a druga połowa brzmi "Podaj zwartą postać funkcji tworzącej ciągu sum częściowych". Z tym pierwszym poleceniem nie mam żadnego problemu. Po prostu podstawiam pod \(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{ \infty }a_{n}*x^n }\) mój ciąg podany w poleceniu i rozwijając moją sume i zauważając różne zależności wyprowadzam zwartą postać funkcji tworzącej. Problem tkwi z drugą częścią polecenia, gdzie muszę wyznaczyć funkcję tworzącą ciągu sum częściowych. Nie rozumiem za bardzo jak mam to zrobić. Jakiś przykład:
Podaj funkcję tworzącą ciągu sum częściowych ciągu \(\displaystyle{ a_{n} = n+2 ,n \ge 0 }\). Będę wdzięczny za pomoc
Awatar użytkownika
arek1357
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5703
Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: blisko
Podziękował: 129 razy
Pomógł: 524 razy

Re: Zwarta postać funkcji tworzącej ciągu sum częściowych

Post autor: arek1357 »

\(\displaystyle{ f(x)= \sum_{n=0}^{ \infty } (n+2)x^n= \sum_{n=0}^{ \infty } nx^n +2 \cdot \sum_{n=0}^{ \infty } x^n }\)

\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{ \infty } nx^n =x \cdot \left( \sum_{n=0}^{ \infty } x^n\right)' }\)

Dalej sobie poradzisz...
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22173
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Zwarta postać funkcji tworzącej ciągu sum częściowych

Post autor: a4karo »

Ciąg sum częściowych ciagu `a_n` to ciąg `b_n=a_1+a_2+...+a_n`

arek1357 do poprawki
Awatar użytkownika
arek1357
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5703
Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: blisko
Podziękował: 129 razy
Pomógł: 524 razy

Re: Zwarta postać funkcji tworzącej ciągu sum częściowych

Post autor: arek1357 »

aaaaaaaaaaaaaa

Dodano po 7 minutach 48 sekundach:
Tylko tam się zaczyna od zera więc wnioskuję,że:

\(\displaystyle{ b_{n}=a_{0}+a_{1}+a_{2}+...+a_{n} }\)

Więc bez ceregieli:

\(\displaystyle{ b_{n}=2+3+4+...+(n+2)= \frac{(n+1)(n+4)}{2} = \frac{1}{2} n^2+ \frac{5}{2}n+2}\)

Dalej chyba proste

Dodano po 6 minutach 23 sekundach:
\(\displaystyle{ \sum_{}^{} n^2x^n=x\left[ x \left( \sum_{}^{} x^n\right)' \right]' }\)
Pucio_
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7
Rejestracja: 9 sty 2023, o 19:27
Płeć: Mężczyzna
wiek: 20
Podziękował: 2 razy

Re: Zwarta postać funkcji tworzącej ciągu sum częściowych

Post autor: Pucio_ »

Czyli teraz, ten ciąg sum częściowych \(\displaystyle{ b_{n}}\) stanowi mój nowy ciąg, którego używam do wyznaczenia funkcji tworzącej, dobrze rozumiem? Powinienem teraz podstawić go tylko do definicji funkcji tworzącej,tak jak to opisałem w poście?
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22173
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Zwarta postać funkcji tworzącej ciągu sum częściowych

Post autor: a4karo »

Dokładnie tak
Pucio_
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7
Rejestracja: 9 sty 2023, o 19:27
Płeć: Mężczyzna
wiek: 20
Podziękował: 2 razy

Re: Zwarta postać funkcji tworzącej ciągu sum częściowych

Post autor: Pucio_ »

Bardzo dziękuję za odpowiedzi
Awatar użytkownika
Mariusz M
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6903
Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 1246 razy

Re: Zwarta postać funkcji tworzącej ciągu sum częściowych

Post autor: Mariusz M »

Aby wyznaczyć funkcję tworzącą ciągu sum częściowych możemy
1) zapisać tę sumę w postaci równania rekurencyjnego i do tego równania rekurencyjnego zastosować funkcję tworzącą
2) spleść dany ciąg z ciągiem jedynek
ODPOWIEDZ