Matematyka.pl

Wrzucamy n monet do n − 1 różnych skarbonek. Oblicz prawdopodobieństwo, że różowa świnka będzie pusta.
Czy to zadanie należy rozwiązać z multizbioru?

Rozumiem, że świnka znaczy skarbonka i tylko jedna jest różowa? Jeśli tak, to wyobraź sobie te monety ustawione w rzędzie, w który wkładamy przegródki oznaczające gdzie kończy się zawartość jednej skarbonki a zaczyna się zawartość drugiej. Np. jeśli jest \(\displaystyle{ n=5}\) monet i \(\displaystyle{ n-1=4}\) skarbonki:
\(\displaystyle{ |||OOOOO \\
||O|OOOO \\
||OO|OOO}\)
itd. Powyższe przykłady odpowiadają następującemu rozkładowi:
Skarbonka 1: 0 monet
Skarbonka 2: 0 monet
Skarbonka 3: 0 monet
Skarbonka 4: 5 monet

Skarbonka 1: 0 monet
Skarbonka 2: 0 monet
Skarbonka 3: 1 moneta
Skarbonka 4: 4 monety
itd.

Można więc określić położenie każdej z \(\displaystyle{ n-2=3}\) przegródek i tymi liczbami manipulować. Jest \(\displaystyle{ n+1=6}\) miejsc: \(\displaystyle{ [1]O[2]O[3]O[4]O[5]O[6]}\), przy czym przegródki są nierozróżnialne, więc nie ma znaczenia czy stoją np. na takich miejscach: 1,2,3 czy 1,3,2. Jednocześnie, jak widać powyżej, kilka przegródek może stać na tym samym miejscu. Zamieńmy numery miejsc na litery \(\displaystyle{ A,B,C…}\) Otrzymamy więc ciąg: \(\displaystyle{ AAA,AAB,AAC,AAD,AAE,AAF,ABB,ABC…}\)

Liczbę jego wyrazów łatwo policzyć, gdyż jak widać są to kombinacje z powtórzeniami. \(\displaystyle{ n+1}\) możliwych obiektów, losujemy ze zwracaniem \(\displaystyle{ n-2}\), kolejność losowania nie ma znaczenia, czyli \(\displaystyle{ {n+1 + n-2 - 1 \choose n-2}= {2n-2 \choose n-2}}\). Liczba ta jest liczbą wszystkich zdarzeń.

Nas interesują te zdarzenia, czyli te kombinacje liter, które zaczynają się od \(\displaystyle{ A}\). Mamy więc kombinacje \(\displaystyle{ n-3}\)-literowe. Ich jest \(\displaystyle{ {n+1 + n-3 - 1 \choose n-3}= {2n-3 \choose n-3}}\).

Prawdopodobieństwo równe:
\(\displaystyle{ \frac{{2n-3 \choose n-3}}{{2n-2 \choose n-2}}=
\frac{\left( 2n-3\right)!}{\left( 2n-3 - n+3\right)! \left( n-3\right)! } \cdot
\frac{\left( 2n-2 - n+2\right)! \left( n-2\right)! }{\left( 2n-2\right)!} = \\
=\frac{\left( 2n-3\right)!}{\left( 2n-2\right)!} \cdot
\frac{n! \left( n-2\right)! }{n! \left( n-3\right)! } = \\
= \frac{n-2}{2n-2}}\)