Udowodnić, że dla dowolnych \(\displaystyle{ a, b \in \mathbb{R}}\) oraz dowolnego \(\displaystyle{ n \in \mathbb{N}}\) prawdziwa jest równość:
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n} {n \choose k} ka^{k}b^{n-k}=na(a+b)^{n-1}}\) .
Udowodnij równość
-
Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4090
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 81 razy
- Pomógł: 1399 razy
Re: Udowodnij równość
\(\displaystyle{
\begin{split}
\sum_{k=1}^{n} {n \choose k} ka^{k}b^{n-k}& = \sum_{1\le k\le n}n {n-1 \choose k-1}a^{k}b^{n-k} \\[1ex]
& = an \sum_{0\le k-1\le n-1} {n-1 \choose k-1}a^{k-1}b^{n-1-(k-1)} \\[1ex]
& = an \sum_{0\le K\le N} {N \choose K}a^{K}b^{N-K} \\[1ex]
& = an (a+b)^{N}\\[1ex]
&=an (a+b)^{n-1}\\[1ex]
\end{split}
}\)
\begin{split}
\sum_{k=1}^{n} {n \choose k} ka^{k}b^{n-k}& = \sum_{1\le k\le n}n {n-1 \choose k-1}a^{k}b^{n-k} \\[1ex]
& = an \sum_{0\le k-1\le n-1} {n-1 \choose k-1}a^{k-1}b^{n-1-(k-1)} \\[1ex]
& = an \sum_{0\le K\le N} {N \choose K}a^{K}b^{N-K} \\[1ex]
& = an (a+b)^{N}\\[1ex]
&=an (a+b)^{n-1}\\[1ex]
\end{split}
}\)
-
a4karo
- Użytkownik
- Posty: 22247
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3762 razy
Re: Udowodnij równość
Albo tak: kładziemy `x=a/b` i
\(\displaystyle{
\begin{split}
\sum_{k=1}^{n} {n \choose k} ka^{k}b^{n-k}=\sum_{k=0}^{n} {n \choose k} ka^{k}b^{n-k}& = b^{n-1}a\sum_{k=0}^n \binom{n}{k} kx^{k-1} \\[1ex]
& = b^{n-1}a \left(\sum_{k=0}^n x^k\right)'\\[1ex]
& = b^{n-1}a\left((1+x)^n\right)'\\[1ex]
& = an (a+b)^{n-1}\\[1ex]
\end{split}
}\)
\begin{split}
\sum_{k=1}^{n} {n \choose k} ka^{k}b^{n-k}=\sum_{k=0}^{n} {n \choose k} ka^{k}b^{n-k}& = b^{n-1}a\sum_{k=0}^n \binom{n}{k} kx^{k-1} \\[1ex]
& = b^{n-1}a \left(\sum_{k=0}^n x^k\right)'\\[1ex]
& = b^{n-1}a\left((1+x)^n\right)'\\[1ex]
& = an (a+b)^{n-1}\\[1ex]
\end{split}
}\)
-
RagaiH
- Użytkownik
- Posty: 15
- Rejestracja: 16 lis 2023, o 19:29
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 18
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 7 razy
Re: Udowodnij równość
Chyba udało mi się teraz udowodnić to indukcyjnie, ale Wasze sposoby wyglądają przystępniej.
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n} {n \choose k} ka^{k}b^{n-k}=na(a+b)^{n-1} }\)
dla \(\displaystyle{ n=1}\):
\(\displaystyle{ L= {1 \choose 1}a^{1}b^{0}=a }\)
\(\displaystyle{ P=a(a+b)^{0}=a=L}\)
i potem... (\(\displaystyle{ n+1}\)):
\(\displaystyle{ P=(n+1)a(a+b)^{n}}\)
\(\displaystyle{ L=\sum_{k=1}^{n+1} {n+1 \choose k} ka^{k}b^{n+1-k}=}\)
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n+1} \left[ {n \choose k-1}+ {n \choose k}\right]ka^{k}b^{n+1-k}=}\)
\(\displaystyle{ a\sum_{k=1}^{n+1}{n \choose k-1} ka^{k-1}b^{n-(k-1)}+b\sum_{k=1}^{n} {n \choose k} ka^{k}b^{n-k}=}\)
\(\displaystyle{ a\sum_{k=0}^{n} {n \choose k} (k+1)a^{k}b^{n-k}+b\sum_{k=1}^{n} {n \choose k}ka^{k}b^{n-k}=}\)
\(\displaystyle{ a\sum_{k=0}^{n} {n \choose k} ka^{k}b^{n-k}+a\sum_{k=0}^{n} {n \choose k} a^{k}b^{n-k}+b\sum_{k=1}^{n} {n \choose k}a^{k}b^{n-k}=}\)
i teraz z założenia:
\(\displaystyle{ ana(a+b)^{n-1}+a(a+b)^{n}+bna(a+b)^{n-1}=}\)
\(\displaystyle{ na(a+b)^{n}+a(a+b)^{n}=(n+1)a(a+b)^{n}=P}\)
cnd...
Czy to rozwiązanie jest poprawne?
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n} {n \choose k} ka^{k}b^{n-k}=na(a+b)^{n-1} }\)
dla \(\displaystyle{ n=1}\):
\(\displaystyle{ L= {1 \choose 1}a^{1}b^{0}=a }\)
\(\displaystyle{ P=a(a+b)^{0}=a=L}\)
i potem... (\(\displaystyle{ n+1}\)):
\(\displaystyle{ P=(n+1)a(a+b)^{n}}\)
\(\displaystyle{ L=\sum_{k=1}^{n+1} {n+1 \choose k} ka^{k}b^{n+1-k}=}\)
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n+1} \left[ {n \choose k-1}+ {n \choose k}\right]ka^{k}b^{n+1-k}=}\)
\(\displaystyle{ a\sum_{k=1}^{n+1}{n \choose k-1} ka^{k-1}b^{n-(k-1)}+b\sum_{k=1}^{n} {n \choose k} ka^{k}b^{n-k}=}\)
\(\displaystyle{ a\sum_{k=0}^{n} {n \choose k} (k+1)a^{k}b^{n-k}+b\sum_{k=1}^{n} {n \choose k}ka^{k}b^{n-k}=}\)
\(\displaystyle{ a\sum_{k=0}^{n} {n \choose k} ka^{k}b^{n-k}+a\sum_{k=0}^{n} {n \choose k} a^{k}b^{n-k}+b\sum_{k=1}^{n} {n \choose k}a^{k}b^{n-k}=}\)
i teraz z założenia:
\(\displaystyle{ ana(a+b)^{n-1}+a(a+b)^{n}+bna(a+b)^{n-1}=}\)
\(\displaystyle{ na(a+b)^{n}+a(a+b)^{n}=(n+1)a(a+b)^{n}=P}\)
cnd...
Czy to rozwiązanie jest poprawne?