Matematyka.pl

Proszę pokazać, że dla całkowitych, nieujemnych m i n zachodzi:
\(\displaystyle{ x ^{\underline{m+n}}=x^{\underline{m}}(x-m)^{\underline{n}}=x^{\underline{n}}(x-n)^{\underline{m}}}\)
a następnie podać i udowodnić analogiczny wzór dla potęg przyrastających.

Zacznij od napisania z definicji ile jest równe:
\(\displaystyle{ x ^{\underline{m+n}}}\)
a potem pogrupuj czynniki. Wychodzi samo.

Q.

\(\displaystyle{ x^{\underline{m}} \cdot x^{\underline{n}}=x(x-1)...(x-m+1) \cdot x(x-1)...(x-n+1)=x^{2}(x-1)^{2}...(x-m+1)(x-n+1)}\)
mogę prosić o wskazówkę jak je pogrupować?

A właściwie dlaczego przekształcasz \(\displaystyle{ x^{\underline{m}} \cdot x^{\underline{n}}}\), a nie to co masz przekształcić?

Q.

\(\displaystyle{ x^{\underline{m}} \cdot x^{\underline{n}}=\frac{x!}{(x-m)!} \cdot \frac{(x-m)!}{(x-m-n)!}= \frac{x!}{(x-m-n)!} = \frac{x!}{(x-(m+n))!} = x^{\underline{m+n}}}\)
Czy dobrze zrozumiałem wskazówkę?
W takim wypadku trzecie zdanie rozwiązuję w analogiczny sposób.

Ok, to powtórzę trzeci raz:
W tym zadaniu chodzi o to, żeby przekształcić napis \(\displaystyle{ x ^{\underline{m+n}}}\). Napis \(\displaystyle{ x^{\underline{m}} \cdot x^{\underline{n}}}\) nie ma z nim nic wspólnego, więc po pierwsze nie mam pojęcia czemu się uparłeś, żeby się nim zajmować, a po drugie masz przecież wyraźnie napisane w treści zadania ile ma się równać \(\displaystyle{ x ^{\underline{m+n}}}\), więc nie mam też pojęcia, dlaczego próbujesz to doprowadzić do jakiejś innej postaci.

Proponowałbym Ci jednak zastosować się do mojej wskazówki.

Q.

przepraszam, wkradł mi się błąd, wyrażenie miało wyglądać tak:
\(\displaystyle{ x^{\underline{m}}(x-m)^{\underline{n}}=\frac{x!}{(x-m)!} \cdot \frac{(x-m)!}{(x-m-n)!}= \frac{x!}{(x-m-n)!} = \frac{x!}{(x-(m+n))!} = x^{\underline{m+n}}}\)

Używanie silni nie jest poprawne - \(\displaystyle{ x}\) przecież nie musi być naturalne. Ale jeśli napiszesz ten rachunek bez użycia symbolu silni, to będzie poprawnie.

Q.

Jeżeli można, druga część zadania każe udowodnić te równania dla potęg przyrastających:
\(\displaystyle{ x ^{\overline{m+n}}=x^{\overline{m}}(x-m)^{\overline{n}}=x^{\overline{n}}(x-n)^{\overline{m}}}\)
Tak więc:
\(\displaystyle{ x^{\overline{m}}(x-m)^{\overline{n}}= \frac{(x+m-1)!}{(x-1)!} \cdot \frac{(x-m+n-1)!}{(x-m-1)!}}\)
Tylko czy w tym wypadku również nie powinienem pominąć silnie?

Dlaczego upierasz się przy pisaniu silni? Przecież to bez sensu - w definicji potęgi ubywającej ani przyrastającej nie pojawia się nigdzie silnia.

Q.

Bardzo przepraszam, po prostu sugerowałem się:
W takim razie wynik po wymazaniu silni jest prawidłowy?

Silnia jako taka jest zdefiniowana wyłącznie dla liczb naturalnych, więc przy jej pomocy nie da się zdefiniować potęgi ubywającej. Wzory z podanego linka nie mają więc sensu chociażby dla \(\displaystyle{ x=\frac 12}\), bo co mielibyśmy rozumieć przez \(\displaystyle{ \frac 12 !}\)?

Definicja jest prosta:
\(\displaystyle{ x^{\underline{n}}=\prod_{k=0}^{n-1}(x-k)}\)
i to z niej należy skorzystać przy przekształceniach.

Q.