Matematyka.pl

Ile można wprowadzić różnych topologii na zbiorze:

\(\displaystyle{ X=\left\{ 1,2,3,...,n\right\} }\)

Kiedyś też zadawałem sobie takie pytanie. W podobnym stylu do: ile jest \(\displaystyle{ \sigma}\)-ciał na zbiorze skończonym; i tym podobne. Wydaje mi się, że dla topologii ogólna odpowiedź póki co nie istnieje. Na początku może warto zauważyć, że dodawanie założeń o aksjomatach oddzielania \(\displaystyle{ \sf{T}_1}\) i mocniejszych \(\displaystyle{ \sf{T}_2,\dots}\) ; nie ma sensu bo w przestrzeniach skończonych sprowadzają się one do ich kompletnego oddzielenia to znaczy jedynie topologia dyskretna jest \(\displaystyle{ \sf{T}_1}\) na skończonym zbiorze. Pytanie więc o różne choć potencjalne równoważne topologie lub \(\displaystyle{ \sf{T}_0}\) (choć istnieje związek pomiędzy tymi liczbami w postaci jawnej sumy z liczbami Bella-Eulera zobacz koniec §2 pracy S. D. Chatterji, The number of topologies on n points). W tej pracy znajdziesz dużo więcej ciekawych wyników w szczególności oszacowań z lat 60/70. Inną pracą z podobnego okresu jest D. Kleitman and B. Rothschild, The Number of Finite Topologies z asymptotycznym oszacowaniem

D. Kleitman and B. Rothschild pisze:The logarithm (base 2) of the number of distinct topologies on a set of \(\displaystyle{ n}\) elements is shown to be asymptotic to \(\displaystyle{ n^2/4}\) as \(\displaystyle{ n}\) goes to infinity.

W 1975 wynik poprawili w pracy D. J. Kleitman and B. L. Rothschild, Asymptotic enumeration of partial orders on a finite set. W tytule co prawda jest o porządkach częściowych ale one korespondują jeden do jeden z topologiami Number of topologies on a finite set. Z innych wyników które kiedyś znalazłem warto wspomnieć o tych z pracy Moussa Benoumhani, The Number of Topologies on a Finite Set. Tu znajdziesz konkretne wzory na liczbę topologii jednak przy pewnych konkretnych założeniach (to znaczy nie jest tak ogólnie jak zadajesz pytanie).

Co najmniej \(\displaystyle{ n;}\)
Dla \(\displaystyle{ i=1,2,\ldots,n,}\) możemy rozważyć topologię \(\displaystyle{ T_i}\):

\(\displaystyle{ T_i= \left\{ \left\{ i\right\};\left\{ \right\}; X \right\} ;}\)

a poczynając od \(\displaystyle{ n=2}\) mogę dołożyć jeszcze przy najmniej \(\displaystyle{ \frac{n\left( n-1\right) }{2}}\) dodatkowych topologii, tzn.:

Dla \(\displaystyle{ i,j=1,2,\ldots,n,}\) \(\displaystyle{ i \neq j,}\) możemy rozważyć topologię:

\(\displaystyle{ T _{i,j}= \left\{ \left\{ i\right\} ; \left\{ j\right\} ; \left\{ i,j\right\};\left\{ \right\};X \right\} }\),

czyli mamy ( co najmniej) \(\displaystyle{ \frac{n\left( n+1\right) }{2}}\) różnych topologii.

Wynik można łatwo uogólnić na dowolne niepuste zbiory skończone.

Sprawa nie jest jednak tak trywialna wcale dla n=3 już mamy 29 topologii...

Sprawa najwyraźniej ma się tak jak z wzorami na liczby pierwsze. Istnieją i są bezużyteczne. Counting finite posets and topologies, Marcel Erné & Kurt Stege Volume 8, pages 247–265, (1991)

Marcel Erné & Kurt Stege pisze: While some asymptotic estimates have been found... no reasonable explicit or recursive formula is known for \(\displaystyle{ P_n}\) number of labeled partially ordered sets (posets)... (where “reasonable” means that the number of operations involved is of considerably smaller order than the numbers to be computed.) As mentioned in

Kod: Zaznacz cały

https://link.springer.com/article/10.1007/BF01173716

Struktur- und anzahlformeln für topologien auf endlichen mengen, there do exist explicit expressions for \(\displaystyle{ P_n}\), like this:

\(\displaystyle{ P_n=\sum_{r=0}^{2^{n^2}-1} \prod_{i=0}^{n-1} b_{n i+i}^r \prod_{j=0}^{n-1}\left(1-b_{n i+j}^r b_{n j+i}^r\right) \prod_{k=0}^{n-1}\left(1-b_{n i+j}^r b_{n j+k}^r\left(1-b_{n i+k}^r\right)\right),}\)

where \(\displaystyle{ b_i^r=\left\lfloor 2^{-i} r\right\rfloor-2\left\lfloor 2^{-i-1} r\right\rfloor}\).