Matematyka.pl

Z talii \(\displaystyle{ 24}\) kart (asy, króle, damy, walety, dziesiątki, dziewiątki) losujemy \(\displaystyle{ 5}\) kart. Obliczyć ilość sposobów, na które:
a) wśród wylosowanych kart znajdują co najmniej \(\displaystyle{ 3}\) asy.
Odpowiedź to \(\displaystyle{ {4 \choose 3} \cdot {20 \choose 2} + 1}\). Teraz moje pytanie: dlaczego nie mogę włączyć pozostałego asa do reszty \(\displaystyle{ 20}\) kart? Wówczas byłby wynik\(\displaystyle{ {4 \choose 3} {21 \choose 2}}\).

Wtedy niektóre rozdania kart powtarzałyby się np:
(as kier, as pik, as karo)+(as trefl + 10 pik)
(as kier, as pik, as trefl)+(as karo+ 10 pik)

Wzór w odpowiedzi również jest błędny, bo poprawnie powinno być: \(\displaystyle{ {4 \choose 3} \cdot {20 \choose 2} + {4 \choose 4} \cdot {20 \choose 1}}\)

Jeszcze jest inny podpunkt b): wyznaczyć ilość sposobów, na którą można wylosować dwie różne pary (np. dama, dama, dziesiątka, dziesiątka, król).

Na początku prawidłowy wydawał mi się wynik: \(\displaystyle{ {6 \choose 1} {4 \choose 2} {5 \choose 1} {4 \choose 2} {16 \choose 1}}\), ale wyszło o \(\displaystyle{ 2}\) razy za dużo w porównaniu do wyniku z odpowiedzi. Stąd pomyślałem, że \(\displaystyle{ {6 \choose 1} {4 \choose 2} {5 \choose 1} {4 \choose 2} {16 \choose 1}}\) liczy \(\displaystyle{ 2}\) razy tę samą opcję, bo np. mogą być najpierw asy potem damy i na odwrót najpierw damy potem asy. Czy to się zgadza?

Zamiast \(\displaystyle{ {6 \choose 1} {5 \choose 1}}\) napisz \(\displaystyle{ {6 \choose 2}}\)