Szachownica 16 na 16

Permutacje. Kombinacje. Wariacje. Rozmieszczanie kul w urnach. Silnie i symbole Newtona. Przeliczanie zbiorów. Funkcje tworzące. Teoria grafów.
aneta909811
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 177
Rejestracja: 1 lut 2015, o 19:20
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Poznań
Podziękował: 31 razy

Szachownica 16 na 16

Post autor: aneta909811 »

Na każdym z \(\displaystyle{ 256}\) pól szachownicy \(\displaystyle{ 16 \times 16}\) wpisano jedną z liczb \(\displaystyle{ 1, 2, . . . , 256}\) (w każdym polu wpisano inną liczbę). Pokaż, że istnieją dwa sąsiadujące ze sobą (wystarczy wspólny wierzchołek) pola szachownicy, które zawierają liczby o różnicy równej co najmniej \(\displaystyle{ 17}\).
Ostatnio zmieniony 23 sty 2023, o 01:06 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Używaj LaTeXa do wszystkich wyrażeń matematycznych.
Awatar użytkownika
arek1357
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4908
Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: blisko
Podziękował: 119 razy
Pomógł: 468 razy

Re: Szachownica 16 na 16

Post autor: arek1357 »

Wydaje mi się, że trzeba założyć iż da się tak ustawić liczby w tej szachownicy, że różnica każdych sąsiadów może być mniejsza lub równa szesnaście.
A wtedy pomyśl jak może stać jedynka i \(\displaystyle{ 256}\) raczej jak najdalej ale czy to możliwe???

Dodano po 4 minutach 1 sekundzie:
Wydaje się że to samo zadanie w każdym kwadracie jest spełnione
3a174ad9764fefcb
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 266
Rejestracja: 18 lip 2022, o 17:46
Płeć: Mężczyzna
wiek: 34
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 35 razy

Re: Szachownica 16 na 16

Post autor: 3a174ad9764fefcb »

Zadanie 28 tu: Mix matematyczny
Awatar użytkownika
arek1357
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4908
Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: blisko
Podziękował: 119 razy
Pomógł: 468 razy

Re: Szachownica 16 na 16

Post autor: arek1357 »

I po co dawać rybę ja dałem wędkę...

Dodano po 12 godzinach 49 minutach 42 sekundach:
Jeszcze co do tego zadania na marginesie znalazłem ciąg rekurencyjny liczący na szachownicy \(\displaystyle{ n \times n}\) ilość par, które są sąsiadami (po boku i wierzchołku tak jak w zadaniu).\(\displaystyle{ a_{n}}\) oznacza ilość sąsiadów na szachownicy: \(\displaystyle{ (n+1) \times (n+1)}\) i wyraża się wzorem (po zamianie na jawny):

\(\displaystyle{ a_{n}=4n^2+2n}\)

Np. na szachownicy \(\displaystyle{ 2 \times 2}\) każdy z każdym jest sąsiadem więc \(\displaystyle{ a_{1}=6}\)

na szachownicy \(\displaystyle{ 3 \times 3}\) jest par sąsiadów aż: \(\displaystyle{ a_{2}=42}\) , itd...

Nawet: \(\displaystyle{ a_{0}=0 }\) , bo to daje szachownicę: \(\displaystyle{ 1 \times 1}\)
Awatar użytkownika
kerajs
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8294
Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 274 razy
Pomógł: 3236 razy

Re: Szachownica 16 na 16

Post autor: kerajs »

arek1357 pisze: 24 sty 2023, o 10:39
Jeszcze co do tego zadania na marginesie znalazłem ciąg rekurencyjny liczący na szachownicy \(\displaystyle{ n \times n}\) ilość par, które są sąsiadami (po boku i wierzchołku tak jak w zadaniu).\(\displaystyle{ a_{n}}\) oznacza ilość sąsiadów na szachownicy: \(\displaystyle{ (n+1) \times (n+1)}\) i wyraża się wzorem (po zamianie na jawny):

\(\displaystyle{ a_{n}=4n^2+2n}\)

Np. na szachownicy \(\displaystyle{ 2 \times 2}\) każdy z każdym jest sąsiadem więc \(\displaystyle{ a_{1}=6}\)

na szachownicy \(\displaystyle{ 3 \times 3}\) jest par sąsiadów aż: \(\displaystyle{ a_{2}=42}\) , itd...

Nawet: \(\displaystyle{ a_{0}=0 }\) , bo to daje szachownicę: \(\displaystyle{ 1 \times 1}\)
Moim zdaniem na szachownicy \(\displaystyle{ 3 \times 3}\) jest tylko 20 par sąsiadów.
Wzór na ilość sąsiadów jest prosty \(\displaystyle{ S(n)=2(n-1)n+2(n-1)^2=2(n-1)(2n-1)}\), lecz intryguje mnie rekurencja którą liczyłeś. Możesz ją pokazać?
Awatar użytkownika
arek1357
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4908
Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: blisko
Podziękował: 119 razy
Pomógł: 468 razy

Re: Szachownica 16 na 16

Post autor: arek1357 »

\(\displaystyle{ a_{n+1}=a_{n}+8n+6}\)

Dodano po 5 minutach 54 sekundach:
Tak przepraszam pomyliłem się oczywiście tam jest 20

Dodano po 3 minutach 22 sekundach:
Tam miało być: \(\displaystyle{ a_{3}=42}\)
ODPOWIEDZ