Pięć dowodów wzoru na sumę kwadratów znaleźć można w R. Nelsen, Proofs Without Words, MAA 1993 (trzy z nich zakładają, że znamy wzór)
Proponuję takie coś.
Niech \(\displaystyle{ A_k=1+2+...+k=\frac{k(k+1)}2, S_k=1^2+2^2+...+k^2}\)
Licząc pole prostokąta na obrazku
\(\displaystyle{ nA_n=S_n+\sum_{k=1}^{n-1}A_k=S_n-A_n+\sum_{k=1}^{n}A_k=S_n-A_n+\sum_{k=1}^{n}\frac{k^2+k}{2}=\frac32S_n-\frac12A_n}\)
czyli
\(\displaystyle{ S_n=\frac23\left(n+\frac12\right)A_n=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}}\)