w których wypadła ta sama strona monety (za każdym razem orzeł lub za każdym razem reszka).
Na przykład w OOORRORO (n = 8) występuje 5 ciągów powtórzeń <- OOO RR.
Jaka jest spodziewana liczba ciągów powtórzeń?
Z moich zapisków mam (nie zakładam, że cokolwiek z tego ma sens):
Że dla n=1 \(\displaystyle{ a_{1} = 1 }\) - bo jest to pierwszy rzut i nie istotne co wypadnie
natomiast kolejne rzuty to szansa 50% na kontynuację serii: \(\displaystyle{ a_{n+1}=\frac{a_n+1}{2}}\)
lub zakończenie poprzedniej i rozpoczęcie nowej \(\displaystyle{ a_{n+1}=\frac{1}{2}*1}\)
Zapisałem to w jednym równaniu wzorem: \(\displaystyle{ a_{n+1}= \frac{1}{2}*(a_{n}+1)+\frac{1}{2}*1 }\)
Po uproszczeniu uzyskałem \(\displaystyle{ a_{n+1}=\frac{a_n}{2}+\frac{3}{2} }\)
Następnie podstawiałem pod wzór wartości:
\(\displaystyle{ a_{1} = 1 }\)
\(\displaystyle{ a_{2} = \frac{a_{1}}{2}+\frac{3}{2} }\)
\(\displaystyle{ a_{n} = \frac{a_{n-1}}{2}+\frac{1}{3} }\) i tak dalej dla \(\displaystyle{ a_{n-1} }\) i \(\displaystyle{ a_{n+1}}\)
Po podstawieniu i zliczeniu finalnie wyszło: \(\displaystyle{ a_{n+1}=\frac{n+1}{2}\ }\)
\(\displaystyle{ }\)
Później próbowałem wykazać, że ten wzór zachodzi dla każdego n, poprzez indukcję - ale tam już tylko gorzej, podobno można też to rozwiązać iteracyjnie
Proszę o pomoc w rozwiązaniu i zrozumieniu w czym jest rzecz, jestem totalnie zielony
