Matematyka.pl

Udowodnić rachunkowo i kombinatorycznie, że \(\displaystyle{ \frac{ {2n \choose n}}{n+1} = \frac{ {2n+1 \choose n}}{2n+1}.}\)

\(\displaystyle{ \frac{\binom{2n}{n}}{n+1}=\frac{(2n)!}{n!(n+1)!}=\frac1{2n+1}\frac{(2n+1)!}{n!(n+1)!}=\frac{\binom{2n+1}{n}}{2n+1}}\).

Mamy `2n+1` pracowników i mamy wybrać zespół złożony z `n` ludzi i jednego kierownika spośród pozostałych.
Możemy to zrobić tak: wybieramy kierownika na `2n+1` sposobów, a z reszty wybierany zespół na \(\displaystyle{ \binom{2n}{n}}\) sposobów.
Albo tak: wybieramy zespół na \(\displaystyle{ \binom{2n+1}{n}}\) a kierownika dobieramy z reszty na `n+1` sposobów.

Dodano po 20 minutach 3 sekundach:
Uogólnienie: jeżeli `m\ge n+k` to