Matematyka.pl

Niech \(\displaystyle{ n}\) będzie parzystą liczbą dodatnią. Na tablicy jest \(\displaystyle{ n}\) liczb rzeczywistych. W jednym ruchu można dwie dowolne z nich zmazać i
zastąpić każdą z nich ich iloczynem. Udowodnić, że dla każdego początkowego układu \(\displaystyle{ n}\) liczb można po skończonej liczbie ruchów
uzyskać \(\displaystyle{ n}\) równych liczb na tablicy.

\(\displaystyle{ (a,b) \rightarrow (ab,ab)}\)

\(\displaystyle{ (a,b,c,d) \rightarrow (ab,ab,cd,cd) \rightarrow (abcd,abcd,abcd,abcd)}\)

Można założyć indukcyjnie, że dla pewnego\(\displaystyle{ 2n}\) jest to prawdą, więc jak mamy:

\(\displaystyle{ 4n}\)

to otrzymamy:

\(\displaystyle{ (a_{1},a_{2},...,a_{2n},b_{1},b_{2},...,b_{2n}) \rightarrow (\underbrace{a,...,a}_{n}a,...\underbrace{b,...,b}_{n}) \rightarrow (\underbrace{ab,...,ab}_{2n})}\)


(\(\displaystyle{ (a,b) \rightarrow (ab,ab)}\)

\(\displaystyle{ (a,b,c,d) \rightarrow (ab,ab,cd,cd) \rightarrow (abcd,abcd,abcd,abcd)}\)

Można założyć indukcyjnie, że dla pewnego\(\displaystyle{ 2n}\) jest to prawdą, więc jak mamy:

\(\displaystyle{ 4n}\)

to otrzymamy:

\(\displaystyle{ (a_{1},a_{2},...,a_{2n},b_{1},b_{2},...,b_{2n}) \rightarrow (\underbrace{a,...,a}_{2n},\underbrace{b,...,b}_{2n}) \rightarrow (\underbrace{ab,...,ab}_{4n})}\)

W przypadku:

\(\displaystyle{ 4n+2}\) mamy sytuację wyjściową:

\(\displaystyle{ (\underbrace{a,...,a}_{2n},\underbrace{b,...,b}_{2n+2}) \rightarrow (a,a,ab,...,ab,b,b,b,b) \rightarrow (a^2b,a^2b,a^2b,a^2b,ab,...,ab,b,b,b,b)}\)

teraz parujemy pierwsze cztery - \(\displaystyle{ a}\) z ostatnimi czterema - \(\displaystyle{ b}\)

\(\displaystyle{ (a^2b^2,a^2b^2,a^2b^2,a^2b^2,ab,...,ab,a^2b^2,a^2b^2,a^2b^2,a^2b^2)}\)

teraz środkowe dzielimy na pół i parujemy i ostatecznie otrzymamy już:

\(\displaystyle{ (a^2b^2,a^2b^2,...,a^2b^2)}\)

cnd...