Matematyka.pl

Równanie rekurencyjne wygląda tak:
\(\displaystyle{
a_{n+2}+2a_{n+1}-8a_n= 2^n \\
}\)
oczywiście kwestia wielomianu, jego rozwiązania z delty, i dojścia do postaci:
\(\displaystyle{
a_{n} = A\cdot (-4)^n +B \cdot 2^n \\
}\)

jest dość prosta. Teraz trzeba ugryźć funkcję
\(\displaystyle{
f(n+2) = 2^n
}\)

próbowałem to zrobić w ten sposób:
\(\displaystyle{
a_{n+2}+2a_{n+1}-8a_n= 2^n \\
C\cdot 2^{n+2} = -2C \cdot 2^{n+1} + 8 C \cdot 2^n + 2^n \\
4C \cdot 2^n = -4C \cdot 2^n + 8 C \cdot 2^n + 2^n
}\)
Ale wtedy wychodzi widoczna sprzeczność. Jest to jakiś sposób na tą dodatkową funkcję z którego korzystałem w podobnych zadaniach. Ale tutaj totalnie jestem w kropce. Proszę o pomoc.

Co to znaczy teraz trzeba ugryźć funkcję

\(\displaystyle{ f(n+2) = 2^{n} ? }\)

Moja rada rób za pomocą szeregów bo te metody to strzały w kolano...Są do zmęczenia ale sypie się to...

MarcinMikolaj pisze: ↑9 sty 2023, o 19:59
próbowałem to zrobić w ten sposób:
\(\displaystyle{
a_{n+2}+2a_{n+1}-8a_n= 2^n \\
C\cdot 2^{n+2} = -2C \cdot 2^{n+1} + 8 C \cdot 2^n + 2^n \\
4C \cdot 2^n = -4C \cdot 2^n + 8 C \cdot 2^n + 2^n
}\)

Powinno być:
\(\displaystyle{
a_{n+2}+2a_{n+1}-8a_n= 2^n \\
C(n+2) 2^{n+2} = -2C (n+1) 2^{n+1} + 8 C n 2^n + 2^n \\
C= \frac{1}{12}
}\)