Matematyka.pl

Hej, nie za bardzo rozumiem jak rozwiązać takie równanie rekurencyjne zdawke mam jutro ale nadal nie potrafię znaleźć informacji zrozumiałych:

1)
\(\displaystyle{ \begin{cases} x_{n+2}=6x_{n+1}-9x_n \\x_0=1\\ x_1=4 \end{cases}}\)

2)
\(\displaystyle{ \begin{cases} x_{n+2}=-5x_{n+1}-6x_n \\x_0=2\\ x_1=7 \end{cases}}\)

Licze na pomoc.

Polecam szeregi...

1)
\(\displaystyle{ \begin{cases} x_{n+2} = 6x_{n+1} -9x_{n} \\ x_{0}=1 \\ x_{1} = 4 \end{cases} }\)

Równanie rekurencyjne drugiego rzędu - jednorodne.

Równanie charakterystyczne

\(\displaystyle{ \lambda^2 -6\lambda +9 = (\lambda-3)^2 = 0 }\)

\(\displaystyle{ \lambda_{1} = \lambda_{2} = 3 }\) (przypadek dwóch równych pierwiastków rzeczywistych równania charakterystycznego).

Rozwiązanie ogólne:

\(\displaystyle{ x_{n} = (C_{1} + C_{2}\cdot n)\cdot 3^{n} }\)

Rozwiązanie szczególne:

\(\displaystyle{ \begin{cases} 1 =(C_{1}+ C_{2}\cdot 0)\cdot 3^{0} \\ 4 = (C_{1} +C_{2}\cdot 1) \cdot 3^{1} \end{cases} }\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} C_{1} = 1 \\ C_{2} = \frac{1}{3} \end{cases} }\)

\(\displaystyle{ x_{sn} = \left ( 1+ \frac{1}{3}n \right)\cdot 3^{n}. }\)

Sprawdzenie

\(\displaystyle{ \left [1+\frac{1}{3}(n+2)\right]\cdot 3^{n+2} = 6\left[1 + \frac{1}{3}(n+1)\right] \cdot 3^{n+1} -9 \left[1 + \frac{1}{3}n\right]\cdot 3^{n} }\)

\(\displaystyle{ 3^{n+2} +\frac{1}{3}\cdot n\cdot 3^{n+2}+\frac{2}{3}\cdot 3^{n+2} = 6\cdot 3^{n+1} +2n\cdot 3^{n+1}+2\cdot 3^{n+1}-9\cdot3^{n}- 3n\cdot 3^{n}}\)

\(\displaystyle{ 9\cdot 3^{n} +3n\cdot 3^{n} +6\cdot 3^{n} = 18\cdot 3^{n} +6n\cdot 3^{n}+6\cdot 3^{n}-9\cdot 3^{n}- 3n\cdot 3^{n} }\)

\(\displaystyle{ 3^{n}\left( 9+3n +6\right) = 3^{n} \left(18 +6n +6 -9 -3n\right) }\)

\(\displaystyle{ 3^{n} \cdot \left(15 +3n \right) = 3^{n} \cdot (15 + 3n) }\)

Warunki początkowe

\(\displaystyle{ x_{0} = \left(1+\frac{1}{3}\cdot 0\right)\cdot 3^{0} = \left(1 + \frac{1}{3}\cdot 0\right)\cdot 1 = 1,}\)

\(\displaystyle{ x_{1} = \left(1 +\frac{1}{3}\cdot 1\right)\cdot 3^{1}= \left(3+ 3 \cdot \frac{1}{3}\right) = 4.}\)


2)

\(\displaystyle{ \begin{cases} x_{n+2}=-5x_{n+1}-6x_n \\x_0=2\\ x_1=7 \end{cases} }\)

Równanie charakterystyczne

\(\displaystyle{ \lambda^2 +5\lambda + 6 = 0 }\)

\(\displaystyle{ \lambda_{1} = \ \ ... \ \ \lambda_{2} \ \ ...}\) (przypadek dwóch różnych pierwiastków rzeczywistych równania charakterystycznego).

Rozwiązanie ogólne:

\(\displaystyle{ x_{n}= C_{1} \cdot \lambda_{1}^{n} + C_{2}\cdot \lambda_{2}^{n}.}\)

\(\displaystyle{ C_{1} = \ \ ... \ \ C_{2} = \ \ ... }\)

Rozwiązanie szczególne

\(\displaystyle{ x_{sn} = \ \ ............. }\)

Sprawdzenie
................