Matematyka.pl

Korzystając z metody funkcji tworzących rozwiązać rekurencje:

\(\displaystyle{ a) a_{n} = 5a_{n-1} - 6a_{n-2}

a_{0}=0, a_{1}=1}\)

\(\displaystyle{ b) a_{n} = 4a_{n-1} - 4a_{n-2} + 3^{n}

a_{0}=0, a_{1}=1}\)

proszę o pomoc

Teano pisze:Korzystając z metody funkcji tworzących rozwiązać rekurencje:
proszę o pomoc

Nie wiem co rozumiesz pod tą nazwą, ale coś co ja znam pod nazwą "równanie charakterystyczne" spokojnie wystarcza.
.

w przypadku b) robimy sobie taki myk, że rozważamy ciąg pomocniczy mniejszy od tego który mamy wyznaczyć o składnik \(\displaystyle{ 3^{n}}\).

porfirion pisze: Nie wiem co rozumiesz pod tą nazwą, ale coś co ja znam pod nazwą "równanie charakterystyczne" spokojnie wystarcza.
.

Pod nazwą funkcji tworzących rozumiemy funkcje tworzące. Czyli rozwiązywanie rekurencji za pomocą funkcji tworzących określonych przez szeregi potęgowe.

Zaczynając od a) definiujemy

\(\displaystyle{ A(x)= \sum_{n=0}^{\infty } a_{n}x^n=a_0 + a_{1}x +\sum_{n=2}^{\infty } a_{n}x^n=\cdots}\)

Teraz podstawiamy z warunków zadania.