Matematyka.pl

Ostatnio nie udało mi się rozwiązać zadania tego typu. Kolega próbował mi wytłumaczyć pokazując na szybko jak on to zrobił ale coś mi nie pasuje.

jemu delta wyszła 9 co tak napisał z pamięci, a x1, i x2 walnął: x1=-2 a x2=1

Zadanie wyglądało na starcie tak:

\(\displaystyle{ S{n}= S{n-1} +2 S{n-2}}\)

\(\displaystyle{ S{0} = 3}\) ; a \(\displaystyle{ S{1} = 6}\)

Trzeba było ogarnąć S3 i S4, co mi wyszło:
\(\displaystyle{ S{3} = 12}\) ; \(\displaystyle{ S{4} = 24}\)

I to w sumie tyle co zrobiłem bo nie zdążyłem reszty.

Rozumiem że trzeba pierwiastki wyliczyć, no to leci delta i \(\displaystyle{ a=1}\); \(\displaystyle{ b=-1}\); \(\displaystyle{ c=2}\)

Mam poprawę i próbuje to zadanie sobie przyswoić, a coś mi nie wychodzi bo po obliczeniach wyszło mi \(\displaystyle{ X{1} = \frac{1+ \sqrt{9}}{2}}\) No i wiadomo że \(\displaystyle{ X{2} = \frac{1- \sqrt{9}}{2}}\).

Nie wiem skąd ten kolega wziął pełne liczby czyli te -2 i 1 i nie wiem jak dalej to doprowadzić do sensownego końca.

Równanie charakterystyczne: \(\displaystyle{ t^{2}-t-2=0}\)
Wyliczamy jego rozwiązania ulubioną metodą, dostając \(\displaystyle{ t_{1}=-1, t_{2}=2}\) (możesz np. zwinąć do postaci kanonicznej i skorzystać ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów, przeliczyć deltę lub skorzystać z twierdzenia o pierwiastkach wymiernych wielomianu).
A zatem rozwiązanie rekurencji będzie postaci \(\displaystyle{ S_{n}=A(-1)^{n}+B2^{n}}\).
Podstawiając \(\displaystyle{ n=2}\) mamy \(\displaystyle{ S_{2}=A+4B}\), zaś kładąc \(\displaystyle{ n=3}\), uzyskujemy \(\displaystyle{ S_{3}=-A+8B}\). No a teraz wyliczamy z podanych warunków początkowych \(\displaystyle{ S_{2}}\) oraz \(\displaystyle{ S_{3}}\) (wcale nie potrzebujesz do niczego \(\displaystyle{ S_{4}}\)): z zależności rekurencyjnej i znanych, bo podanych wartości \(\displaystyle{ S_{0}, S_{1}}\) mamy \(\displaystyle{ S_{2}=S_{1}+2S_{0}=12}\)
oraz \(\displaystyle{ S_{3}=2S_{2}+S_{1}=30}\). I dostajesz układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} 12= A+4B\\ 30=-A+8B\end{cases}}\)

No ok, dziękuje ale wciąż nie wiem jak wyliczyć te x1 i x2, by były takie wyniki jak podałeś i jak ten kolega miał. Jak pisałem. Za pomocą delty wyszły mi takie koszmarki. Rzeczy które pisałeś w nawiasie z tymi sposobami wyliczenia wrzucałem do google i szukałem sobie wzorów czy coś ale nie wychodziło mi nic dobrego.

Z postaci kanonicznej wyszło mi:
dla p \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\) a dla q \(\displaystyle{ \frac{-9}{4}}\). Chyba że mam to obliczyć z twierdzenia o pierwiastkach wymiernych wielomianu, a za d dać 0?

\(\displaystyle{ s_{n}= s_{n-1} +2 s_{n-2}}\)

\(\displaystyle{ s_{0} = 3}\) ; a \(\displaystyle{ s_{1} = 6}\)

Nie lepiej w ten sposób

\(\displaystyle{ S\left( x\right)=\sum_{n=0}^{ \infty }{s_{n}x^n}\\
\sum_{n=2}^{ \infty }{s_{n}x^{n}}= \sum_{n=2}^{ \infty }{s_{n-1}x^{n}}+2\sum_{n=2}^{ \infty }{s_{n-2}x^{n}}\\
\sum_{n=2}^{ \infty }{s_{n}x^{n}}= x\sum_{n=2}^{ \infty }{s_{n-1}x^{n-1}}+2x^2\sum_{n=2}^{ \infty }{s_{n-2}x^{n-2}}\\
\sum_{n=2}^{ \infty }{s_{n}x^{n}}= x\sum_{n=1}^{ \infty }{s_{n}x^{n}}+2x^2\sum_{n=0}^{ \infty }{s_{n}x^{n}}\\
\sum_{n=0}^{ \infty }{s_{n}x^{n}}-6x-3=x\left( \sum_{n=0}^{ \infty }{s_{n}x^{n}}-3\right)+2x^2\sum_{n=0}^{ \infty }{s_{n}x^{n}}\\
S\left( x\right)-6x-3=x\left( S\left( x\right)-3 \right)+2x^2S\left( x\right) \\
S\left( x\right)-6x-3=xS\left( x\right)-3x+2x^2S\left( x\right)\\
S\left( x\right)-xS\left( x\right)-2x^2S\left( x\right)=-3x+6x+3\\
S\left( x\right)\left( 1-x-2x^2\right)=3x+3\\
S\left( x\right)=\frac{3x+3}{1-x-2x^2} \\
S\left( x\right)=\frac{3}{1-2x}\\
s_{n}=3 \cdot 2^{n}}\)

Premislav pisze: oraz \(\displaystyle{ S_{3}=2S_{2}+S_{1}=30}\). I dostajesz układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} 12= A+4B\\ 30=-A+8B\end{cases}}\)

Układ równań lepiej było napisać na podstawie danych warunków początkowych

Może i lepiej ale tego wyżej kompletnie nie znam xD Chyba raczej muszę robić tak jak to wyglądało na ćwiczeniach... kiedyś tam.

Mardax, więcej widać jak rozwiązujesz w ten sposób ,
np wiadomo co z pierwiastkami wielokrotnymi a także co z rozwiązaniem szczególnym równania niejednorodnego

Jako ćwiczenie spróbuj rozwiązać takie równanie

\(\displaystyle{ a_{n}=-6a_{n-1}+50a_{n-3}+45a_{n-4}-108a_{n-5}-108a_{n-6}\\+\left( n^2+4n+1\right) \cdot \left( -1\right)^n +3 \cdot 2^{n}+\left( 2n+1\right) \cdot \left( -3\right)^{n}+3n+5}\)