Zadanie 1.
120 osób jedzie na wycieczkę do 4 krajów (A, B, C, D). Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń:
- dokładnie 30 osób pojedzie na jedną z wycieczek;
- co najwyżej 30 osób pojedzie na przynajmniej jedną z nich;
- jeśli wiadomo, że do kraju A pojedzie 14 osób, to na przynajmniej jedną z pozostałych pojedzie co najmniej 35 osób.
Jest to zadanie dość proste, aczkolwiek mam pewne wątpliwości. Z metody szufladkowej mamy:
120 osób rozdzielamy na 4 "szufladki", więc w każdej będzie równo po 30 osób - stąd dwa pierwsze stwierdzenia są prawdziwe
jeśli chodzi o trzecie stwierdzenie - do pierwszej szufladki wchodzi 14 osób, w pozostałych mamy po 35 - więc to też prawda
Zadanie 2.
Ile jest rozwiązań równania \(\displaystyle{ x_{1} + x_{2} + x_{3} + x_{4} = 5}\), gdy \(\displaystyle{ x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4} }\) to liczby całkowite nieujemne oraz dodatkowo \(\displaystyle{ x_{2} \le 2}\) ?
mamy tutaj przypadek gdzie \(\displaystyle{ x_{2} \ge 0}\) i \(\displaystyle{ x_{2} \le 2 }\), pozostałe \(\displaystyle{ x_{i} \ge 0}\)
do tego zadania posiadam odpowiedź: \(\displaystyle{ {5+3-1 \choose 5} + {4+3-1 \choose 4} + {3+3-1 \choose 3}}\) lub \(\displaystyle{ {5+4-1 \choose 5} - {2+4-1 \choose 2}}\)
korzystam ze wzoru \(\displaystyle{ {k+n-1 \choose k} }\), próbuję to rozbić na przypadki, gdy \(\displaystyle{ x_{2} }\) przyjmuje wartości 0, 1 oraz 2, jednak wynik mi nie wychodzi... czy jest mi ktoś w stanie rozpisać ten przykład/wyjaśnić jak należy do tego podejść?
Zadanie 3.
Ile jest rozwiązań równania \(\displaystyle{ x_{1} + x_{2} + x_{3} + x_{4} + x_{5} + x_{6} = 50}\), gdy:
a) \(\displaystyle{ x_{1} > 0}\), \(\displaystyle{ x_{2} > 0}\), \(\displaystyle{ x_{3} > 0}\), \(\displaystyle{ x_{4} > 0}\), \(\displaystyle{ x_{5} > 0}\), \(\displaystyle{ x_{6} > 0; }\)
b) \(\displaystyle{ x_{1} \ge 0}\), \(\displaystyle{ x_{2} \ge 0}\), \(\displaystyle{ x_{3} \ge 0}\), \(\displaystyle{ x_{4} \ge 0}\), \(\displaystyle{ x_{5} \ge 0}\), \(\displaystyle{ x_{6} \ge 0 ;}\)
c) \(\displaystyle{ x_{1} \ge 1}\), \(\displaystyle{ x_{2} \ge 2}\), \(\displaystyle{ x_{3} \ge 0}\), \(\displaystyle{ x_{4} \ge 0}\), \(\displaystyle{ x_{5} \ge 0}\), \(\displaystyle{ x_{6} \ge 0 ;}\)
d) \(\displaystyle{ x_{1} \ge 0}\), \(\displaystyle{ x_{2} \ge 0}\), \(\displaystyle{ x_{3} \ge 0}\), \(\displaystyle{ x_{4} \ge 0}\), \(\displaystyle{ x_{5} \ge 0}\), \(\displaystyle{ x_{6} \ge 0 }\) i \(\displaystyle{ x_{6} < 5 }\) ?
podpunkt a): korzystamy ze wzoru \(\displaystyle{ {n-1 \choose k-1}}\) więc wychodzi tutaj \(\displaystyle{ {49 \choose 5} }\)
podpunkt b): \(\displaystyle{ {n+k-1 \choose k-1} = {52 \choose 5} }\) (bo \(\displaystyle{ n=50, k=6}\))
podpunkt c):
podpunkt d): zadanie jest analogiczne do zad 2.
Odnośnie zadania 2 i 3 - wiem że w Internecie można znaleźć podobne przykłady do tych, jednak większość odnosi się do prostego przypadku gdy wszystkie \(\displaystyle{ x_{i} }\) mają być liczbami całkowitymi dodatnimi. Nie znalazłem nigdzie wytłumaczenia co zrobić gdy pojawiają się dodatkowe warunki (jak powyżej) lub są one źle zrobione.
Zadanie 4.
Wykorzystując litery alfabetu angielskiego (jest ich 26) - ile można utworzyć wyrazów 12-literowych (nie ma znaczenia czy słowo ma sens czy nie, litery mogą się powtarzać):
a) gdy litera s pojawia się w słowie trzykrotnie;
b) gdy litera t pojawia się na końcu lub na początku;
c) gdy na początku jest jedna litera a.
podpunkt a): dla litery "s" możemy wybrać miejsce na \(\displaystyle{ {12 \choose 3} }\) sposobów; następnie mnożymy przez \(\displaystyle{ 25^{9} }\)
podpunkt b): są dwie opcje dla "t" i zostaje 25 liter na 11 miejsc, więc \(\displaystyle{ 2\cdot 25^{11} }\)
podpunkt c): tutaj powinno wyjść... \(\displaystyle{ 11\cdot 26^{11} }\)
Zadanie 5.
Oblicz współczynnik wielomianu \(\displaystyle{ (a+b+c+d)^{17}}\) przy wyrazie \(\displaystyle{ a^{8}b^{6} c^{1} d^{2}.}\)
tutaj rozwiązaniem będzie: \(\displaystyle{ \frac{17!}{8!\cdot 6!\cdot 1!\cdot 2!}}\) Pytanie czy można to zrobić jakoś inaczej? Rozpisywanie tego ze wzoru Newtona raczej jest zbyt czasochłonne...
Za wszelką pomoc będę bardzo wdzięczny
Dzięki za odpowiedź. 
