Matematyka.pl

Niech płaszczyzna będzie pomalowana na dwa kolory. Udowodnić, że można wybrać tak \(\displaystyle{ 5}\) punktów tego samego koloru, że będą one tworzyły pięciokąt foremny.

Czy do dowodu da się użyć twierdzenie van der Waerdena, czyli: "Dla dowolnych liczb \(\displaystyle{ k,m}\) istnieje taka liczba \(\displaystyle{ n}\), że dla dowolnego podziału zbioru \(\displaystyle{ \left\{ 1,2,3,...,n \right\}}\) na \(\displaystyle{ k}\) rozłącznych podzbiorów, co najmniej jeden z tych podzbiorów zawiera \(\displaystyle{ m}\) - wyrazowy postęp arytmetyczny"?

wielkireturner pisze:Niech płaszczyzna będzie pomalowana na dwa kolory. Udowodnić, że można wybrać tak \(\displaystyle{ 5}\) punktów, że będą tworzyły pięciokąt foremny.

Chyba czegoś w treści zadania brakuje. Chodzi Ci o punkty tego samego koloru?

JK

Jan Kraszewski pisze:

wielkireturner pisze:Niech płaszczyzna będzie pomalowana na dwa kolory. Udowodnić, że można wybrać tak \(\displaystyle{ 5}\) punktów, że będą tworzyły pięciokąt foremny.

Chyba czegoś w treści zadania brakuje. Chodzi Ci o punkty tego samego koloru?

JK

Tak tak, oczywiście.

Wydaje mi się, że jeżeli namalujemy okrąg a w nim pięciokąt foremny, to przynajmniej jeden wierzchołek pięciokąta musi być biały np. i teraz jeśli będziemy go obracać o dowolny kąt wokół środka okręgu, ale w taki sposób, że nie natrafimy na żaden wcześniejszy pięciokąt to zawsze znajdzie się na każdym z nich jakiś biały punkt, różny od pozostałych i w ten sposób zamalujemy cały okrąg na biało i zadanie rozwiązane.
Chyba że coś schrzaniłem to pisać!
Nie upieram się przy tym pomyśle.

arek1357 pisze:Wydaje mi się, że jeżeli namalujemy okrąg a w nim pięciokąt foremny, to przynajmniej jeden wierzchołek pięciokąta musi być biały np. i teraz jeśli będziemy go obracać o dowolny kąt wokół środka okręgu, ale w taki sposób, że nie natrafimy na żaden wcześniejszy pięciokąt to zawsze znajdzie się na każdym z nich jakiś biały punkt, różny od pozostałych i w ten sposób zamalujemy cały okrąg na biało i zadanie rozwiązane.
Chyba że coś schrzaniłem to pisać!
Nie upieram się przy tym pomyśle.

Wydaje się troszkę sofizmatyczne, ale logika nie ma sobie nic do zarzucenia.
Jak będzie wyglądała sytuacja dla \(\displaystyle{ 3}\) i więcej kolorów?

arek1357 pisze:w ten sposób zamalujemy cały okrąg na biało

Nie rozumiem. Jak chcesz pomalować cały okrąg na biało?

arek1357 pisze:Wydaje mi się, że jeżeli namalujemy okrąg a w nim pięciokąt foremny, to przynajmniej jeden wierzchołek pięciokąta musi być biały np.

No dobrze. Powiedzmy, że górny wierzchołek jest biały, czyli czerwony. Co dalej?

\(\displaystyle{ \begin{picture}(0,0)\thicklines
\qbezier(0.0,40.0)(19.0211303259,26.1803398875)(38.0422606518,12.360679775)
\qbezier(38.0422606518,12.360679775)(30.7768353718,-10.0)(23.5114100917,-32.360679775)
\qbezier(23.5114100917,-32.360679775)(0.0,-32.360679775)(-23.5114100917,-32.360679775)
\qbezier(-23.5114100917,-32.360679775)(-30.7768353718,-10.0)(-38.0422606518,12.360679775)
\qbezier(-38.0422606518,12.360679775)(-19.0211303259,26.1803398875)(0.0,40.0)
\color{red}
\qbezier(40.0,0.0)(40.0,12.9967878493)(32.360679775,23.5114100917)
\qbezier(32.360679775,23.5114100917)(24.72135955,34.0260323341)(12.360679775,38.0422606518)
\qbezier(12.360679775,38.0422606518)(0.0,42.0584889695)(-12.360679775,38.0422606518)
\qbezier(-12.360679775,38.0422606518)(-24.72135955,34.0260323341)(-32.360679775,23.5114100917)
\qbezier(-32.360679775,23.5114100917)(-40.0,12.9967878493)(-40.0,0.0)
\color{blue}
\qbezier(-40.0,0.0)(-40.0,-12.9967878493)(-32.360679775,-23.5114100917)
\qbezier(-32.360679775,-23.5114100917)(-24.72135955,-34.0260323341)(-12.360679775,-38.0422606518)
\qbezier(-12.360679775,-38.0422606518)(0.0,-42.0584889695)(12.360679775,-38.0422606518)
\qbezier(12.360679775,-38.0422606518)(24.72135955,-34.0260323341)(32.360679775,-23.5114100917)
\qbezier(32.360679775,-23.5114100917)(40.0,-12.9967878493)(40.0,0.0)
\end{picture}}\)

Wiem pomysł do bani napisałem ale jak widzisz od początku nie byłem przekonany do swego pomysłu