Matematyka.pl

Obliczyć
\(\displaystyle{ {n \choose 0}+ \frac{1}{2} {n \choose 1}+ \frac{1}{3} {n \choose 2}+ \frac{1}{4} {n \choose 3}+...+ \frac{1}{n+1} {n \choose n} }\)

Jak to zrobić? Może mi ktoś pomóc? Widzę, że tu trzeba jakoś skorzystać ze wzoru na dwumian Newtona, ale nie wiem jak sobie z tymi ułamkami poradzić.

może obliczyć \(\displaystyle{ \sum_{k} \frac{k}{k+1} {n \choose k}}\) gdyż \(\displaystyle{ {n \choose k+1}= {n \choose k} \frac{n-k}{k+1}}\)

Wsk. Scałkuj `(x+1)^n`

Mol Książkowy: Ok, rozumiem po co to chcesz liczyć, ale mimo wszystko nie widzę jak policzyć to \(\displaystyle{ \sum_{k} \frac{k}{k+1} {n \choose k}}\). Proszę jeszcze o dalszą wskazówkę.

Dodano po 23 minutach 54 sekundach:
a4karo: Ok całkuję to i dostaję to:
\(\displaystyle{ \int_{}^{}(x+1)^n \dd x = \frac{(x+1)^{n+1}}{n+1}+C }\) i dalej to jest równe \(\displaystyle{ = \frac{ \sum_{k=0}^{n+1} {{n+1} \choose k}x^{n+1-k }}{n+1} +C}\), ale nie wiem za bardzo co z tym dalej.

Raz scalkowales i ok. A teraz rozwiń i scalkuj

Na razie jeszcze mi to nie wychodzi, ale robię tak:
\(\displaystyle{ \int_{}^{} \int_{}^{}(x+1)^{n-1} \dd x \dd x = \int_{}^{} \frac{(x+1)^n}{n}+C \dd x = \int_{}^{} \frac{ \sum_{k=0}^{n} {n \choose k} x^k }{n}+C_1 \dd x = \frac{ \sum_{k=0}^{n} {n \choose k} \frac{x^{k+1}}{k+1} }{n}+C_1x+C_2 }\)

No i teraz w liczniku tego ułamka jak podstawię \(\displaystyle{ x=1}\) to mam niby to co chcę w tym zadaniu. Tylko nie wiem co z tymi stałymi \(\displaystyle{ C_1,C_2}\) zrobić, pewnie warto by to było całkować w jakichś granicach, ale nie wiem jakich (może \(\displaystyle{ 0,1}\)). No w każdym razie jak pomnożę obustronnie ostatnią równość przez \(\displaystyle{ n}\) to dostaję:
\(\displaystyle{ n \int_{}^{} \int_{}^{} (x+1)^{n-1} \dd x \dd x = \sum_{k=0}^{n} {n \choose k} \frac{x^{k+1}}{k+1} +C_1xn+C_2n}\),
tylko nie wiem jak z tymi stałymi sobie poradzić, bo to już by było to o co chodzi. Jakby tych stałych nie było to dostałbym równość:
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n} {n \choose k} \frac{x^{k+1}}{k+1}=n \int_{0}^{1} \int_{}^{}(x+1)^{n-1} \dd x \dd x= n \frac{(x+1)^{n+1}}{n(n+1)}=n \frac{2^{n+1}-1}{n(n+1)} =\frac{2^{n+1}-1}{n+1} }\) i to jest chyba dobry wynik, ale gubię się tu trochę. Proszę jeszcze o jakąś pomoc tu, jak to poprawić.

\(\displaystyle{ (x+1)^n=\sum \binom{n}{k}x^k}\), więc
\(\displaystyle{ \int_0^1(x+1)^ndx=\int_0^1\sum \binom{n}{k}x^kdx}\)

Najproßciej jest chyba z tego ze, \(\displaystyle{ \frac{1}{k+1} {n \choose k} = \frac{1}{n+1} {n+1 \choose k+1} }\) tj. ta suma to \(\displaystyle{ \frac{1}{n+1} \sum_{k=0}^{n} {n+1 \choose k+1} = \frac{1}{n+1} (2^{n+1} - 1)}\)

analogicznie jest z suma \(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n} {n \choose k} \frac{(-1)^k}{k+1} = - \frac{1}{n+1} }\).