Matematyka.pl

Na ile sposobów można ustawić 12 rozróżnialnych piratów i 7 nierozróżnialnych księżniczek, a na ile sposobów można ustawić 12 nierozróżnialnych piratów i 7 rozróżnialnych księżczniczek.

Proszę o sprawdzenie:
Wariant pierwszy \(\displaystyle{ 12! {19 \choose 7} }\).
Wariant drugi \(\displaystyle{ 7! {19 \choose 12} }\).

Postawię na:
Wariant pierwszy: \(\displaystyle{ 12! {19 \choose 6} }\).
Wariant drugi: \(\displaystyle{ 7! {19 \choose 11} }\).

Czemu tak?

bo liczba naturalnych rozwiązań (zero też uważam za naturalne) równania:
\(\displaystyle{ x_1+x_2+....+x_{13}=7}\)
to \(\displaystyle{ {7+13-1 \choose 7-1} }\)

Na pewno? Coś mi się tu nie zgadza. Kojarzę ten wzór o którym piszesz, ale zgodnie z nim to chyba powinno być
\(\displaystyle{ {7+13-1 \choose 13-1} }\) czyli \(\displaystyle{ {19 \choose 12} }\). Ta dolna liczba to chyba powinna być ilość elementów rozróżnialnych minus jeden. Albo elementów nierozróżnialnych, ale to już wtedy bez tego minus jeden.

Idąc Twoją logiką to jeśli będziemy mieli dwóch rozróżnialnych piratów i jedną nierozróżnialną księżniczkę, to według Ciebie takich ustawień jest \(\displaystyle{ {3+1-1 \choose 1-1} }\) czyli \(\displaystyle{ 1}\), podczas, gdy takich ustawień w rzeczywistości jest \(\displaystyle{ 6}\).

Czy może się ktoś jeszcze wypowiedzieć?

Niestety, już rzadko ktokolwiek tu zagląda, więc odpowiem.
To:

kerajs pisze: 7 cze 2025, o 15:27 bo liczba naturalnych rozwiązań (zero też uważam za naturalne) równania:
\(\displaystyle{ x_1+x_2+....+x_{13}=7}\)
to \(\displaystyle{ {7+13-1 \choose 7-1} }\)

jest nieprawdą. Miało być
liczba naturalnych rozwiązań (zero też uważam za naturalne) równania:
\(\displaystyle{ x_1+x_2+....+x_{13}=7}\)
to \(\displaystyle{ {7+13-1 \choose 13-1} }\) więc i \(\displaystyle{ \ \ \ ...= {19 \choose 12} = {19 \choose 7} }\)
Twoja pierwotne odpowiedzi były prawidłowe.

Ok, dzięki!