Matematyka.pl

Witam, mam pewne zadanie z kombinatoryki, próbowałam rozwiązać sama, ale nie wiem czy poprawnie.

Mamay dwa pokoje pomalowane na biało oraz jeden pomalowany na szaro.
Na ile sposobów możemy rozmieścić \(\displaystyle{ 90}\) osob (po 30 w każdym pokoju), tak że:
- jest dla nas istotne kto jest z kim w pokoju i czy dana osoba jest w białym czy szarym pokoju,
- oba białe pokoje są dla nas nie do rozróżnienia.

Co próbowałam zrobić:
1. Najpierw wybrać 30 osob z 90 (szary pokoj) czyli: \(\displaystyle{ \binom{90}{30}.}\)
2. następnie wylosować grupę osob do pokoju bialego:\(\displaystyle{ \binom{60}{30} \times \binom{30}{30}.}\)

Czy dzielic przez \(\displaystyle{ 3!}\) (z powodu, że jak wybieram \(\displaystyle{ 30}\) osob do szarego pokoju to automatycznie wybieram \(\displaystyle{ 20}\) do bialegoa i 20 do bialego2?) wyrażenie : \(\displaystyle{ \binom{90}{30} \times \binom{60}{30} \times \binom{60}{30}}\)

Proszę o wytłumaczenie jak się do tego zabrać i co wnosi do zadania fakt, że białe pokoje są nie rozróżnialne.

Nie dzielić przez \(3!\) tylko przez \(2!\) albo po prostu przez \(2\). Gdybyśmy nie podzielili, to każde rozmieszczenie policzylibyśmy dwa razy, bo zamiana grup w białych pokojach daje to samo rozmieszczenie.

Zamiast \(\displaystyle{ \binom{90}{30}\cdot\frac{\binom{60}{30}}2}\) można równie dobrze napisać \(\displaystyle{ \binom{90}{30}\cdot\binom{59}{29}}\), bo spośród \(60\) osób, które mają być rozmieszczone w białych pokojach, pierwszą umieszczasz w którymś z pokoi, a potem dobierasz jej \(29\) towarzyszy.

Ja może podkręcę to zadanie:

W szpitalu psychiatrycznym jest osiem izolatek (2 czerwone nierozróżnialne dla ciężkich przypadków) i (trzy białe nierozróżnialne dla lżejszych przypadków).Oraz 3 niebieskie dla alkoholików (też nierozróżnialne). Pacjentów jest \(\displaystyle{ n \ge 8}\) wszyscy rozróżnialni bo każdy stanowi niepowtarzalny przypadek schorzenia umysłowego...
Na ile sposobów można pacjentów umieścić w izolatkach tak żeby żadna izolatka nie była pusta a ilość pacjentów w izolatkach dowolna...