Matematyka.pl

Jaka jest największa liczba punktów, które można umieścić w trójkącie równobocznym o boku \(\displaystyle{ 2}\), tak aby odległość dowolnych dwóch nie była mniejsza niż \(\displaystyle{ 1}\).

Moje rozwiązanie jest takie, że można umieścić \(\displaystyle{ 6}\) takich punktów, po jednym w każdym wierzchołku trójkąta i po jednym w środkach boków trójkąta.

Dobrze? Ale jak to uzasadnić?

Dodaj siódmy punkt trójkąta równobocznego, różny od tych wszystkich sześciu punktów, i pokaż, że odległość tego punktu od jednego z tych pozostałych sześciu punktów jest mniejsza niż jeden. W tym celu można podzielić trójkąt równoboczny na cztery trójkąty równoboczne, łącząc te sześć punktów.

I czego to ma dowieść?

Że nie da się umieścić siedmiu takich różnych punktów spełniających warunki zadania, a sześć takich punktów da się umieścić (w sposób proponowany przez maxa), więc odpowiedzią będzie: \(\displaystyle{ 6}\).

Ależ nie. W ten sposób pokażesz tylko tyle, że do tych sześciu punktów nie da się dodac siódmego. A to za mało

Dlaczego za mało
Jakby było więcej punktów niż siedem, i dla nich zachodziłaby nasza własność, to tym bardziej dla siedmiu spośród nich odległość między dwoma spośród tych siedmiu punktów wynosiłaby co najmniej jeden, a my znaleźliśmy dwa punkty, których odległość jest mniejsza niż jeden- sprzeczność.
Nie rozumiem.

Jakub Gurak pisze: ↑13 sie 2023, o 18:09a my znaleźliśmy dwa punkty, których odległość jest mniejsza niż jeden- sprzeczność.

Rozważyłeś tylko bardzo konkretny układ: sześć punktów wskazanych przez maxa plus jeden dodatkowy i uzasadniłeś, że ten układ prowadzi do sprzeczności. To zdecydowanie nie wyczerpuje wszystkich możliwych układów siedmiu punktów.

JK

Odległość według jakiej metryki? Dajmy dyskretną, piszemy nieskończoność i spokój.

Bo ja domyślnie uznałam, że rozważamy tylko sam obwód trójkąta. To nie podpada bardziej pod zadanie z geometrii?

Dodano po 3 minutach 14 sekundach:
Ja musiałabym to bardziej rozrysować, ale uważam, że się 7 zmieści, jeżeli damy jeden punkt w czubku, po dwa na każdym z boków i jeden w środku.

Niepokonana, jest taka dobra zasada: najpierw pomyśl, potem pisz, nie na odwrót.

JK

No dobra, to jak to w takim razie sensownie uzasadnić? Od czego w ogóle zacząć?

Skorzystaj z takiego faktu: jeżeli dwa punkty leżą w trójkącie o boku 1 i co najmniej jeden nie jest wierzchołkiem z to ich odległość jest mniejsza od jedynki.
Pokaż, że Twój zbiór jest jedynym sześciopunktowcem spełniającym warunki zadania.

Kurde ciężkie to. Nie wiem za bardzo jak się do tego zabrać. W tym trójkącie o boku \(\displaystyle{ 2}\) mieszczą się \(\displaystyle{ 4}\) trójkąty o boku \(\displaystyle{ 1}\). Podałem zestaw \(\displaystyle{ 6}\) punktów, które spełniają warunki zadania. I teraz jakoś chyba trzeba uzasadnić, że jak choćby jeden punkt w tym trójkącie o boku \(\displaystyle{ 2}\) nie należy do tego zestawu to już zmieści się mniej niż \(\displaystyle{ 6}\) punktów w tym trójkącie. No, ale nie wiem co dalej?

Wszystko źle! Wszystko!!
Przecież wyraźnie jest napisane:

max123321 pisze: ↑11 sie 2023, o 21:40 Jaka jest największa liczba punktów, które można umieścić w trójkącie równobocznym

Punkty należy umieszczać W trójkącie, a nie na jego brzegu!

No, ale brzeg trójkąta należy chyba do trójkąta. Tak jak w siatkówce, linia to boisko. No dobra to, zróbmy to zadanie przy założeniu, że brzeg trójkąta należy do trójkąta. Ale ja w ogóle nie wiem, jak się zabrać do uzasadnienia tego, bo mamy w sumie continuum różnych układów punktów i jak to zacząć udowadniać?

Wsk. Jeżeli masz sześć punktów, to przynajmniej dwa należa do jednego trójkąta o boku `1`. Jak mogą leżeć?