Matematyka.pl

Ile jest macierzy zero-jedynkowych wymiaru \(\displaystyle{ n}\), w których w każdym z pierwszych \(\displaystyle{ k}\) wierszach jest \(\displaystyle{ r}\) jedynek, a w następnych \(\displaystyle{ n-k}\) wierszach jest \(\displaystyle{ s}\) jedynek ?

\(\displaystyle{ {n \choose r}^k {n(n-k) \choose s} }\)

mol_ksiazkowy pisze: ↑19 cze 2023, o 15:14 w każdym z pierwszych \(\displaystyle{ k}\) wierszach jest \(\displaystyle{ r}\) jedynek

Przy założeniu: \(\displaystyle{ r \le n}\) , jedynki w każdy z k wierszy można wpisać na \(\displaystyle{ {n \choose r} }\) sposobów

mol_ksiazkowy pisze: ↑19 cze 2023, o 15:14 a w następnych \(\displaystyle{ n-k}\) wierszach jest \(\displaystyle{ s}\) jedynek ?

Przy założeniu: \(\displaystyle{ s \le (n-k)n}\) , jedynki można wpisać w tablicę \(\displaystyle{ (n-k)\times n}\) na \(\displaystyle{ {n(n-k) \choose s} }\) sposobów.

Nie do konca:
w pierwszych `k` wierszach możesz mieć powtarzające się wiersze, więc różnych będzie mniej niż \(\displaystyle{ {\binom{n}{r}}^k}\)

A dlaczego wiersze nie mogą się powtarzać? W zadaniu nie ma takiego warunku.

No tak, ale macierz ale macierz, która ma pierwszy i drugi wiersz taki sam policzyłeś jako dwie.

Nie widzę abym dwukrotnie zliczał te same macierze.

Przykład:
W macierzy \(\displaystyle{ 2 \times 3}\) każdy wiersz ma mieć dwie jedynki, a pozostałe elementy to zera.
Jedynki w pierwszym wierszu ustawiam na \(\displaystyle{ 3}\) sposoby, podobnie jak w wierszu drugim. Daje to \(\displaystyle{ 9}\) macierzy, w tym trzy z powtarzającymi się wierszami.

Analogicznie:
W macierzy \(\displaystyle{ 2 \times n}\) każdy wiersz ma mieć \(\displaystyle{ r}\) jedynkek, a pozostałe elementy to zera.
Jedynki w pierwszym wierszu ustawiam na \(\displaystyle{ {n \choose r} }\) sposoby, podobnie jak w wierszu drugim. Daje to \(\displaystyle{ {n \choose r} ^2}\) macierzy, w tym \(\displaystyle{ {n \choose r} }\) z powtarzającymi się wierszami.

OK. Masz rację. Ale wzorek do poprawy

a4karo pisze: ↑21 cze 2023, o 07:47 OK. Masz rację. Ale wzorek do poprawy

Jest źle, ale nie powiem dlaczego. Domyśl się człowieku.


Jak pisałem w pierwszym poscie fragment:

mol_ksiazkowy pisze: ↑19 cze 2023, o 15:14 a w następnych \(\displaystyle{ n-k}\) wierszach jest \(\displaystyle{ s}\) jedynek ?

rozumiem jako rozstawienie \(\displaystyle{ s}\) jedynek na \(\displaystyle{ n(n-k)}\) miejscach i dlatego wzorek nie wymaga poprawiania

Ja rozumiem zadanie tak, że w każdym z pozostałych wierszy jest `s` jedynek, ale może się mylę